Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56599 / 87088
↖ ↑ ↗
← S 50.819818°
W 24.546204°		 ← 192.92 m → S 50.819818°
W 24.543457°		 →
↑
192.98 m
↓
↑
192.98 m
↓
S 50.821554°
W 24.546204°		 ← 192.91 m →
37 228 m²		 S 50.821554°
W 24.543457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431819915771484 y=0.664432525634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431819915771484 × 217)
    floor (0.431819915771484 × 131072)
    floor (56599.5)     		tx = 56599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664432525634766 × 217)
    floor (0.664432525634766 × 131072)
    floor (87088.5)     		ty = 87088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56599 / 87088 ti = "17/56599/87088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56599/87088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56599 ÷ 217
    56599 ÷ 131072     		x = 0.431816101074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87088 ÷ 217
    87088 ÷ 131072     		y = 0.6644287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431816101074219 × 2 - 1) × π
    -0.136367797851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.42841207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6644287109375 × 2 - 1) × π
    -0.328857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.03313606061145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42841207} λ = -0.42841207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03313606061145))-π/2
    2×atan(0.355889118827973)-π/2
    2×0.341911586436889-π/2
    0.683823172873778-1.57079632675     		φ = -0.88697315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42841207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.546204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88697315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.819818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56599 KachelY 87088 -0.42841207 -0.88697315 -24.546204 -50.819818
    Oben rechts KachelX + 1 56600 KachelY 87088 -0.42836414 -0.88697315 -24.543457 -50.819818
    Unten links KachelX 56599 KachelY + 1 87089 -0.42841207 -0.88700344 -24.546204 -50.821554
    Unten rechts KachelX + 1 56600 KachelY + 1 87089 -0.42836414 -0.88700344 -24.543457 -50.821554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88697315--0.88700344) × R
    3.02899999999884e-05 × 6371000     		dl = 192.977589999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88697315--0.88700344) × R
    3.02899999999884e-05 × 6371000     		dr = 192.977589999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42841207--0.42836414) × cos(-0.88697315) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.631761219323209 × 6371000     		do = 192.915888407705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42841207--0.42836414) × cos(-0.88700344) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.631737739344463 × 6371000     		du = 192.908718513731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88697315)-sin(-0.88700344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631761219323209-0.631737739344463)×R²
    abs(-0.42836414--0.42841207)×2.34799787461881e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34799787461881e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34799787461881e-05×40589641000000     		ar = 37227.7514060924m²