Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56599 / 44794
↖ ↑ ↗
← N 49.393100°
W 24.546204°		 ← 198.75 m → N 49.393100°
W 24.543457°		 →
↑
198.78 m
↓
↑
198.78 m
↓
N 49.391312°
W 24.546204°		 ← 198.76 m →
39 507 m²		 N 49.391312°
W 24.543457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431819915771484 y=0.341754913330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431819915771484 × 217)
    floor (0.431819915771484 × 131072)
    floor (56599.5)     		tx = 56599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341754913330078 × 217)
    floor (0.341754913330078 × 131072)
    floor (44794.5)     		ty = 44794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56599 / 44794 ti = "17/56599/44794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56599/44794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56599 ÷ 217
    56599 ÷ 131072     		x = 0.431816101074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44794 ÷ 217
    44794 ÷ 131072     		y = 0.341751098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431816101074219 × 2 - 1) × π
    -0.136367797851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.42841207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341751098632812 × 2 - 1) × π
    0.316497802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.994307171919205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42841207} λ = -0.42841207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.994307171919205))-π/2
    2×atan(2.70285108130349)-π/2
    2×1.21643427384227-π/2
    2.43286854768453-1.57079632675     		φ = 0.86207222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42841207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.546204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86207222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.393100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56599 KachelY 44794 -0.42841207 0.86207222 -24.546204 49.393100
    Oben rechts KachelX + 1 56600 KachelY 44794 -0.42836414 0.86207222 -24.543457 49.393100
    Unten links KachelX 56599 KachelY + 1 44795 -0.42841207 0.86204102 -24.546204 49.391312
    Unten rechts KachelX + 1 56600 KachelY + 1 44795 -0.42836414 0.86204102 -24.543457 49.391312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86207222-0.86204102) × R
    3.1199999999898e-05 × 6371000     		dl = 198.77519999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86207222-0.86204102) × R
    3.1199999999898e-05 × 6371000     		dr = 198.77519999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42841207--0.42836414) × cos(0.86207222) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.650865651958317 × 6371000     		do = 198.749656739157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42841207--0.42836414) × cos(0.86204102) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.650889338460902 × 6371000     		du = 198.75688969767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86207222)-sin(0.86204102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650865651958317-0.650889338460902)×R²
    abs(-0.42836414--0.42841207)×2.36865025844413e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36865025844413e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36865025844413e-05×40589641000000     		ar = 39507.2216378574m²