Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56599 / 14097
↖ ↑ ↗
← N 80.290055°
W 24.546204°		 ← 51.50 m → N 80.290055°
W 24.543457°		 →
↑
51.48 m
↓
↑
51.48 m
↓
N 80.289592°
W 24.546204°		 ← 51.50 m →
2 651 m²		 N 80.289592°
W 24.543457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431819915771484 y=0.107555389404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431819915771484 × 217)
    floor (0.431819915771484 × 131072)
    floor (56599.5)     		tx = 56599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107555389404297 × 217)
    floor (0.107555389404297 × 131072)
    floor (14097.5)     		ty = 14097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56599 / 14097 ti = "17/56599/14097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56599/14097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56599 ÷ 217
    56599 ÷ 131072     		x = 0.431816101074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14097 ÷ 217
    14097 ÷ 131072     		y = 0.107551574707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431816101074219 × 2 - 1) × π
    -0.136367797851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.42841207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107551574707031 × 2 - 1) × π
    0.784896850585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.46582617955607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42841207} λ = -0.42841207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46582617955607))-π/2
    2×atan(11.773204916264)-π/2
    2×1.48606107362418-π/2
    2.97212214724836-1.57079632675     		φ = 1.40132582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42841207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.546204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40132582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.290055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56599 KachelY 14097 -0.42841207 1.40132582 -24.546204 80.290055
    Oben rechts KachelX + 1 56600 KachelY 14097 -0.42836414 1.40132582 -24.543457 80.290055
    Unten links KachelX 56599 KachelY + 1 14098 -0.42841207 1.40131774 -24.546204 80.289592
    Unten rechts KachelX + 1 56600 KachelY + 1 14098 -0.42836414 1.40131774 -24.543457 80.289592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40132582-1.40131774) × R
    8.07999999996589e-06 × 6371000     		dl = 51.4776799997827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40132582-1.40131774) × R
    8.07999999996589e-06 × 6371000     		dr = 51.4776799997827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42841207--0.42836414) × cos(1.40132582) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.16866046493801 × 6371000     		do = 51.5025019541863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42841207--0.42836414) × cos(1.40131774) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.168668429180118 × 6371000     		du = 51.5049339313239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40132582)-sin(1.40131774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16866046493801-0.168668429180118)×R²
    abs(-0.42836414--0.42841207)×7.96424210822155e-06×R²
    4.79299999999738e-05×7.96424210822155e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×7.96424210822155e-06×40589641000000     		ar = 2651.29191120526m²