Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56599 / 14090
↖ ↑ ↗
← N 80.293298°
W 24.546204°		 ← 51.49 m → N 80.293298°
W 24.543457°		 →
↑
51.54 m
↓
↑
51.54 m
↓
N 80.292834°
W 24.546204°		 ← 51.49 m →
2 654 m²		 N 80.292834°
W 24.543457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431819915771484 y=0.107501983642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431819915771484 × 217)
    floor (0.431819915771484 × 131072)
    floor (56599.5)     		tx = 56599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107501983642578 × 217)
    floor (0.107501983642578 × 131072)
    floor (14090.5)     		ty = 14090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56599 / 14090 ti = "17/56599/14090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56599/14090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56599 ÷ 217
    56599 ÷ 131072     		x = 0.431816101074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14090 ÷ 217
    14090 ÷ 131072     		y = 0.107498168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431816101074219 × 2 - 1) × π
    -0.136367797851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.42841207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107498168945312 × 2 - 1) × π
    0.785003662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.46616173785341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42841207} λ = -0.42841207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46616173785341))-π/2
    2×atan(11.7771561757618)-π/2
    2×1.48608936665408-π/2
    2.97217873330815-1.57079632675     		φ = 1.40138241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42841207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.546204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40138241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.293298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56599 KachelY 14090 -0.42841207 1.40138241 -24.546204 80.293298
    Oben rechts KachelX + 1 56600 KachelY 14090 -0.42836414 1.40138241 -24.543457 80.293298
    Unten links KachelX 56599 KachelY + 1 14091 -0.42841207 1.40137432 -24.546204 80.292834
    Unten rechts KachelX + 1 56600 KachelY + 1 14091 -0.42836414 1.40137432 -24.543457 80.292834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40138241-1.40137432) × R
    8.09000000012716e-06 × 6371000     		dl = 51.5413900008102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40138241-1.40137432) × R
    8.09000000012716e-06 × 6371000     		dr = 51.5413900008102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42841207--0.42836414) × cos(1.40138241) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.168604685364454 × 6371000     		do = 51.4854689903728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42841207--0.42836414) × cos(1.40137432) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.168612659540495 × 6371000     		du = 51.4879040009562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40138241)-sin(1.40137432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168604685364454-0.168612659540495)×R²
    abs(-0.42836414--0.42841207)×7.97417604087025e-06×R²
    4.79299999999738e-05×7.97417604087025e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×7.97417604087025e-06×40589641000000     		ar = 2653.69538855606m²