Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56597 / 14089
↖ ↑ ↗
← N 80.293761°
W 24.551697°		 ← 51.49 m → N 80.293761°
W 24.548950°		 →
↑
51.48 m
↓
↑
51.48 m
↓
N 80.293298°
W 24.551697°		 ← 51.50 m →
2 651 m²		 N 80.293298°
W 24.548950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431804656982422 y=0.107494354248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431804656982422 × 217)
    floor (0.431804656982422 × 131072)
    floor (56597.5)     		tx = 56597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107494354248047 × 217)
    floor (0.107494354248047 × 131072)
    floor (14089.5)     		ty = 14089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56597 / 14089 ti = "17/56597/14089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56597/14089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56597 ÷ 217
    56597 ÷ 131072     		x = 0.431800842285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14089 ÷ 217
    14089 ÷ 131072     		y = 0.107490539550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431800842285156 × 2 - 1) × π
    -0.136398315429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.42850795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107490539550781 × 2 - 1) × π
    0.785018920898438 × 3.1415926535     		Φ = 2.46620967475303
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42850795} λ = -0.42850795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46620967475303))-π/2
    2×atan(11.7777207496471)-π/2
    2×1.48609340775162-π/2
    2.97218681550325-1.57079632675     		φ = 1.40139049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42850795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.551697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40139049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.293761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56597 KachelY 14089 -0.42850795 1.40139049 -24.551697 80.293761
    Oben rechts KachelX + 1 56598 KachelY 14089 -0.42846001 1.40139049 -24.548950 80.293761
    Unten links KachelX 56597 KachelY + 1 14090 -0.42850795 1.40138241 -24.551697 80.293298
    Unten rechts KachelX + 1 56598 KachelY + 1 14090 -0.42846001 1.40138241 -24.548950 80.293298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40139049-1.40138241) × R
    8.07999999996589e-06 × 6371000     		dl = 51.4776799997827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40139049-1.40138241) × R
    8.07999999996589e-06 × 6371000     		dr = 51.4776799997827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42850795--0.42846001) × cos(1.40139049) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.168596721034229 × 6371000     		do = 51.4937782834789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42850795--0.42846001) × cos(1.40138241) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.168604685364454 × 6371000     		du = 51.4962107949313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40139049)-sin(1.40138241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168596721034229-0.168604685364454)×R²
    abs(-0.42846001--0.42850795)×7.96433022440257e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.96433022440257e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.96433022440257e-06×40589641000000     		ar = 2650.84285051173m²