Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56595 / 14019
↖ ↑ ↗
← N 80.326121°
W 24.557190°		 ← 51.32 m → N 80.326121°
W 24.554443°		 →
↑
51.29 m
↓
↑
51.29 m
↓
N 80.325660°
W 24.557190°		 ← 51.33 m →
2 632 m²		 N 80.325660°
W 24.554443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431789398193359 y=0.106960296630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431789398193359 × 217)
    floor (0.431789398193359 × 131072)
    floor (56595.5)     		tx = 56595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106960296630859 × 217)
    floor (0.106960296630859 × 131072)
    floor (14019.5)     		ty = 14019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56595 / 14019 ti = "17/56595/14019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56595/14019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56595 ÷ 217
    56595 ÷ 131072     		x = 0.431785583496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14019 ÷ 217
    14019 ÷ 131072     		y = 0.106956481933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431785583496094 × 2 - 1) × π
    -0.136428833007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.42860382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106956481933594 × 2 - 1) × π
    0.786087036132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.46956525772643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42860382} λ = -0.42860382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46956525772643))-π/2
    2×atan(11.8173082512873)-π/2
    2×1.48637581059399-π/2
    2.97275162118797-1.57079632675     		φ = 1.40195529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42860382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.557190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40195529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.326121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56595 KachelY 14019 -0.42860382 1.40195529 -24.557190 80.326121
    Oben rechts KachelX + 1 56596 KachelY 14019 -0.42855588 1.40195529 -24.554443 80.326121
    Unten links KachelX 56595 KachelY + 1 14020 -0.42860382 1.40194724 -24.557190 80.325660
    Unten rechts KachelX + 1 56596 KachelY + 1 14020 -0.42855588 1.40194724 -24.554443 80.325660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40195529-1.40194724) × R
    8.05000000014822e-06 × 6371000     		dl = 51.2865500009443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40195529-1.40194724) × R
    8.05000000014822e-06 × 6371000     		dr = 51.2865500009443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42860382--0.42855588) × cos(1.40195529) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.16803997921986 × 6371000     		do = 51.323735002836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42860382--0.42855588) × cos(1.40194724) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.168047914744873 × 6371000     		du = 51.3261587164354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40195529)-sin(1.40194724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16803997921986-0.168047914744873)×R²
    abs(-0.42855588--0.42860382)×7.93552501296424e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.93552501296424e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.93552501296424e-06×40589641000000     		ar = 2632.27945338833m²