Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56594 / 16046
↖ ↑ ↗
← N 79.344364°
W 24.559937°		 ← 56.47 m → N 79.344364°
W 24.557190°		 →
↑
56.45 m
↓
↑
56.45 m
↓
N 79.343857°
W 24.559937°		 ← 56.48 m →
3 188 m²		 N 79.343857°
W 24.557190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431781768798828 y=0.122425079345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431781768798828 × 217)
    floor (0.431781768798828 × 131072)
    floor (56594.5)     		tx = 56594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122425079345703 × 217)
    floor (0.122425079345703 × 131072)
    floor (16046.5)     		ty = 16046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56594 / 16046 ti = "17/56594/16046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56594/16046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56594 ÷ 217
    56594 ÷ 131072     		x = 0.431777954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16046 ÷ 217
    16046 ÷ 131072     		y = 0.122421264648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431777954101562 × 2 - 1) × π
    -0.136444091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42865176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122421264648438 × 2 - 1) × π
    0.755157470703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37239716219658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42865176} λ = -0.42865176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37239716219658))-π/2
    2×atan(10.7230664287465)-π/2
    2×1.47780836573496-π/2
    2.95561673146993-1.57079632675     		φ = 1.38482040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42865176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.559937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38482040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.344364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56594 KachelY 16046 -0.42865176 1.38482040 -24.559937 79.344364
    Oben rechts KachelX + 1 56595 KachelY 16046 -0.42860382 1.38482040 -24.557190 79.344364
    Unten links KachelX 56594 KachelY + 1 16047 -0.42865176 1.38481154 -24.559937 79.343857
    Unten rechts KachelX + 1 56595 KachelY + 1 16047 -0.42860382 1.38481154 -24.557190 79.343857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38482040-1.38481154) × R
    8.8599999998884e-06 × 6371000     		dl = 56.447059999289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38482040-1.38481154) × R
    8.8599999998884e-06 × 6371000     		dr = 56.447059999289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42865176--0.42860382) × cos(1.38482040) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184905719602055 × 6371000     		do = 56.4749662396531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42865176--0.42860382) × cos(1.38481154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184914426815298 × 6371000     		du = 56.4776256467013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38482040)-sin(1.38481154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184905719602055-0.184914426815298)×R²
    abs(-0.42860382--0.42865176)×8.70721324322532e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.70721324322532e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.70721324322532e-06×40589641000000     		ar = 3187.92086566289m²