Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56593 / 30255
↖ ↑ ↗
← N 69.116590°
W 24.562683°		 ← 108.85 m → N 69.116590°
W 24.559937°		 →
↑
108.88 m
↓
↑
108.88 m
↓
N 69.115611°
W 24.562683°		 ← 108.86 m →
11 852 m²		 N 69.115611°
W 24.559937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431774139404297 y=0.230831146240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431774139404297 × 217)
    floor (0.431774139404297 × 131072)
    floor (56593.5)     		tx = 56593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230831146240234 × 217)
    floor (0.230831146240234 × 131072)
    floor (30255.5)     		ty = 30255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56593 / 30255 ti = "17/56593/30255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56593/30255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56593 ÷ 217
    56593 ÷ 131072     		x = 0.431770324707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30255 ÷ 217
    30255 ÷ 131072     		y = 0.230827331542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431770324707031 × 2 - 1) × π
    -0.136459350585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.42869969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230827331542969 × 2 - 1) × π
    0.538345336914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.6912617554952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42869969} λ = -0.42869969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6912617554952))-π/2
    2×atan(5.42632308048662)-π/2
    2×1.38855419635913-π/2
    2.77710839271826-1.57079632675     		φ = 1.20631207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42869969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.562683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20631207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.116590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56593 KachelY 30255 -0.42869969 1.20631207 -24.562683 69.116590
    Oben rechts KachelX + 1 56594 KachelY 30255 -0.42865176 1.20631207 -24.559937 69.116590
    Unten links KachelX 56593 KachelY + 1 30256 -0.42869969 1.20629498 -24.562683 69.115611
    Unten rechts KachelX + 1 56594 KachelY + 1 30256 -0.42865176 1.20629498 -24.559937 69.115611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20631207-1.20629498) × R
    1.70900000000529e-05 × 6371000     		dl = 108.880390000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20631207-1.20629498) × R
    1.70900000000529e-05 × 6371000     		dr = 108.880390000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42869969--0.42865176) × cos(1.20631207) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.356467479043064 × 6371000     		do = 108.851633029639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42869969--0.42865176) × cos(1.20629498) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.356483446310132 × 6371000     		du = 108.856508826724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20631207)-sin(1.20629498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356467479043064-0.356483446310132)×R²
    abs(-0.42865176--0.42869969)×1.59672670672628e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59672670672628e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59672670672628e-05×40589641000000     		ar = 11852.0736962281m²