Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56592 / 30256
↖ ↑ ↗
← N 69.115611°
W 24.565430°		 ← 108.88 m → N 69.115611°
W 24.562683°		 →
↑
108.88 m
↓
↑
108.88 m
↓
N 69.114632°
W 24.565430°		 ← 108.88 m →
11 855 m²		 N 69.114632°
W 24.562683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431766510009766 y=0.230838775634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431766510009766 × 217)
    floor (0.431766510009766 × 131072)
    floor (56592.5)     		tx = 56592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230838775634766 × 217)
    floor (0.230838775634766 × 131072)
    floor (30256.5)     		ty = 30256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56592 / 30256 ti = "17/56592/30256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56592/30256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56592 ÷ 217
    56592 ÷ 131072     		x = 0.4317626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30256 ÷ 217
    30256 ÷ 131072     		y = 0.2308349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4317626953125 × 2 - 1) × π
    -0.136474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42874763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2308349609375 × 2 - 1) × π
    0.538330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.69121381859558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42874763} λ = -0.42874763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69121381859558))-π/2
    2×atan(5.42606296561641)-π/2
    2×1.38854565219482-π/2
    2.77709130438964-1.57079632675     		φ = 1.20629498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42874763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.565430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20629498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.115611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56592 KachelY 30256 -0.42874763 1.20629498 -24.565430 69.115611
    Oben rechts KachelX + 1 56593 KachelY 30256 -0.42869969 1.20629498 -24.562683 69.115611
    Unten links KachelX 56592 KachelY + 1 30257 -0.42874763 1.20627789 -24.565430 69.114632
    Unten rechts KachelX + 1 56593 KachelY + 1 30257 -0.42869969 1.20627789 -24.562683 69.114632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20629498-1.20627789) × R
    1.70900000000529e-05 × 6371000     		dl = 108.880390000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20629498-1.20627789) × R
    1.70900000000529e-05 × 6371000     		dr = 108.880390000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42874763--0.42869969) × cos(1.20629498) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356483446310132 × 6371000     		do = 108.879220386951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42874763--0.42869969) × cos(1.20627789) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356499413473081 × 6371000     		du = 108.88409716951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20629498)-sin(1.20627789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356483446310132-0.356499413473081)×R²
    abs(-0.42869969--0.42874763)×1.59671629498814e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59671629498814e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59671629498814e-05×40589641000000     		ar = 11855.0774719126m²