Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56592 / 14095
↖ ↑ ↗
← N 80.290982°
W 24.565430°		 ← 51.51 m → N 80.290982°
W 24.562683°		 →
↑
51.48 m
↓
↑
51.48 m
↓
N 80.290519°
W 24.565430°		 ← 51.51 m →
2 652 m²		 N 80.290519°
W 24.562683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431766510009766 y=0.107540130615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431766510009766 × 217)
    floor (0.431766510009766 × 131072)
    floor (56592.5)     		tx = 56592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107540130615234 × 217)
    floor (0.107540130615234 × 131072)
    floor (14095.5)     		ty = 14095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56592 / 14095 ti = "17/56592/14095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56592/14095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56592 ÷ 217
    56592 ÷ 131072     		x = 0.4317626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14095 ÷ 217
    14095 ÷ 131072     		y = 0.107536315917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4317626953125 × 2 - 1) × π
    -0.136474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42874763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107536315917969 × 2 - 1) × π
    0.784927368164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.46592205335531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42874763} λ = -0.42874763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46592205335531))-π/2
    2×atan(11.7743337122587)-π/2
    2×1.48606915830193-π/2
    2.97213831660385-1.57079632675     		φ = 1.40134199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42874763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.565430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40134199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.290982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56592 KachelY 14095 -0.42874763 1.40134199 -24.565430 80.290982
    Oben rechts KachelX + 1 56593 KachelY 14095 -0.42869969 1.40134199 -24.562683 80.290982
    Unten links KachelX 56592 KachelY + 1 14096 -0.42874763 1.40133391 -24.565430 80.290519
    Unten rechts KachelX + 1 56593 KachelY + 1 14096 -0.42869969 1.40133391 -24.562683 80.290519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40134199-1.40133391) × R
    8.07999999996589e-06 × 6371000     		dl = 51.4776799997827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40134199-1.40133391) × R
    8.07999999996589e-06 × 6371000     		dr = 51.4776799997827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42874763--0.42869969) × cos(1.40134199) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.168644526563991 × 6371000     		do = 51.5083793227227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42874763--0.42869969) × cos(1.40133391) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.168652490828134 × 6371000     		du = 51.5108118139924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40134199)-sin(1.40133391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168644526563991-0.168652490828134)×R²
    abs(-0.42869969--0.42874763)×7.96426414381712e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.96426414381712e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.96426414381712e-06×40589641000000     		ar = 2651.59447771181m²