Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56591 / 16048
↖ ↑ ↗
← N 79.343349°
W 24.568176°		 ← 56.48 m → N 79.343349°
W 24.565430°		 →
↑
56.51 m
↓
↑
56.51 m
↓
N 79.342841°
W 24.568176°		 ← 56.48 m →
3 192 m²		 N 79.342841°
W 24.565430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431758880615234 y=0.122440338134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431758880615234 × 217)
    floor (0.431758880615234 × 131072)
    floor (56591.5)     		tx = 56591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122440338134766 × 217)
    floor (0.122440338134766 × 131072)
    floor (16048.5)     		ty = 16048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56591 / 16048 ti = "17/56591/16048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56591/16048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56591 ÷ 217
    56591 ÷ 131072     		x = 0.431755065917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16048 ÷ 217
    16048 ÷ 131072     		y = 0.1224365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431755065917969 × 2 - 1) × π
    -0.136489868164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.42879557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1224365234375 × 2 - 1) × π
    0.755126953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37230128839734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42879557} λ = -0.42879557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37230128839734))-π/2
    2×atan(10.722038416909)-π/2
    2×1.47779950151067-π/2
    2.95559900302135-1.57079632675     		φ = 1.38480268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42879557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.568176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38480268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.343349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56591 KachelY 16048 -0.42879557 1.38480268 -24.568176 79.343349
    Oben rechts KachelX + 1 56592 KachelY 16048 -0.42874763 1.38480268 -24.565430 79.343349
    Unten links KachelX 56591 KachelY + 1 16049 -0.42879557 1.38479381 -24.568176 79.342841
    Unten rechts KachelX + 1 56592 KachelY + 1 16049 -0.42874763 1.38479381 -24.565430 79.342841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38480268-1.38479381) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dl = 56.5107700003165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38480268-1.38479381) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dr = 56.5107700003165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42879557--0.42874763) × cos(1.38480268) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.184923134014026 × 6371000     		do = 56.4802850493814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42879557--0.42874763) × cos(1.38479381) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.184931851025751 × 6371000     		du = 56.4829474491381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38480268)-sin(1.38479381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184923134014026-0.184931851025751)×R²
    abs(-0.42874763--0.42879557)×8.71701172475148e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.71701172475148e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.71701172475148e-06×40589641000000     		ar = 3191.81962513522m²