Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56589 / 87101
↖ ↑ ↗
← S 50.842370°
W 24.573669°		 ← 192.86 m → S 50.842370°
W 24.570923°		 →
↑
192.85 m
↓
↑
192.85 m
↓
S 50.844105°
W 24.573669°		 ← 192.86 m →
37 193 m²		 S 50.844105°
W 24.570923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431743621826172 y=0.664531707763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431743621826172 × 217)
    floor (0.431743621826172 × 131072)
    floor (56589.5)     		tx = 56589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664531707763672 × 217)
    floor (0.664531707763672 × 131072)
    floor (87101.5)     		ty = 87101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56589 / 87101 ti = "17/56589/87101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56589/87101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56589 ÷ 217
    56589 ÷ 131072     		x = 0.431739807128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87101 ÷ 217
    87101 ÷ 131072     		y = 0.664527893066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431739807128906 × 2 - 1) × π
    -0.136520385742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.42889144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664527893066406 × 2 - 1) × π
    -0.329055786132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.03375924030651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42889144} λ = -0.42889144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03375924030651))-π/2
    2×atan(0.355667405046365)-π/2
    2×0.34171478359911-π/2
    0.683429567198219-1.57079632675     		φ = -0.88736676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42889144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.573669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88736676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.842370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56589 KachelY 87101 -0.42889144 -0.88736676 -24.573669 -50.842370
    Oben rechts KachelX + 1 56590 KachelY 87101 -0.42884350 -0.88736676 -24.570923 -50.842370
    Unten links KachelX 56589 KachelY + 1 87102 -0.42889144 -0.88739703 -24.573669 -50.844105
    Unten rechts KachelX + 1 56590 KachelY + 1 87102 -0.42884350 -0.88739703 -24.570923 -50.844105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88736676--0.88739703) × R
    3.02699999999989e-05 × 6371000     		dl = 192.850169999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88736676--0.88739703) × R
    3.02699999999989e-05 × 6371000     		dr = 192.850169999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42889144--0.42884350) × cos(-0.88736676) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.631456058462015 × 6371000     		do = 192.862933933341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42889144--0.42884350) × cos(-0.88739703) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.631432586461704 × 6371000     		du = 192.855764980277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88736676)-sin(-0.88739703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631456058462015-0.631432586461704)×R²
    abs(-0.42884350--0.42889144)×2.34720003111644e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34720003111644e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34720003111644e-05×40589641000000     		ar = 37192.9583316537m²