Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56589 / 14139
↖ ↑ ↗
← N 80.270580°
W 24.573669°		 ← 51.62 m → N 80.270580°
W 24.570923°		 →
↑
51.61 m
↓
↑
51.61 m
↓
N 80.270116°
W 24.573669°		 ← 51.62 m →
2 664 m²		 N 80.270116°
W 24.570923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431743621826172 y=0.107875823974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431743621826172 × 217)
    floor (0.431743621826172 × 131072)
    floor (56589.5)     		tx = 56589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107875823974609 × 217)
    floor (0.107875823974609 × 131072)
    floor (14139.5)     		ty = 14139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56589 / 14139 ti = "17/56589/14139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56589/14139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56589 ÷ 217
    56589 ÷ 131072     		x = 0.431739807128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14139 ÷ 217
    14139 ÷ 131072     		y = 0.107872009277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431739807128906 × 2 - 1) × π
    -0.136520385742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.42889144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107872009277344 × 2 - 1) × π
    0.784255981445312 × 3.1415926535     		Φ = 2.46381282977203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42889144} λ = -0.42889144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46381282977203))-π/2
    2×atan(11.7495251824808)-π/2
    2×1.48589111879007-π/2
    2.97178223758014-1.57079632675     		φ = 1.40098591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42889144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.573669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40098591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.270580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56589 KachelY 14139 -0.42889144 1.40098591 -24.573669 80.270580
    Oben rechts KachelX + 1 56590 KachelY 14139 -0.42884350 1.40098591 -24.570923 80.270580
    Unten links KachelX 56589 KachelY + 1 14140 -0.42889144 1.40097781 -24.573669 80.270116
    Unten rechts KachelX + 1 56590 KachelY + 1 14140 -0.42884350 1.40097781 -24.570923 80.270116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40098591-1.40097781) × R
    8.09999999984434e-06 × 6371000     		dl = 51.6050999990083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40098591-1.40097781) × R
    8.09999999984434e-06 × 6371000     		dr = 51.6050999990083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42889144--0.42884350) × cos(1.40098591) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.168995495708745 × 6371000     		do = 51.6155743335362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42889144--0.42884350) × cos(1.40097781) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.16900347919947 × 6371000     		du = 51.6180126970987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40098591)-sin(1.40097781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168995495708745-0.16900347919947)×R²
    abs(-0.42884350--0.42889144)×7.98349072483884e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.98349072483884e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.98349072483884e-06×40589641000000     		ar = 2663.68979096584m²