Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56588 / 15997
↖ ↑ ↗
← N 79.369221°
W 24.576416°		 ← 56.34 m → N 79.369221°
W 24.573669°		 →
↑
56.32 m
↓
↑
56.32 m
↓
N 79.368714°
W 24.576416°		 ← 56.35 m →
3 173 m²		 N 79.368714°
W 24.573669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431735992431641 y=0.122051239013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431735992431641 × 217)
    floor (0.431735992431641 × 131072)
    floor (56588.5)     		tx = 56588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122051239013672 × 217)
    floor (0.122051239013672 × 131072)
    floor (15997.5)     		ty = 15997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56588 / 15997 ti = "17/56588/15997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56588/15997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56588 ÷ 217
    56588 ÷ 131072     		x = 0.431732177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15997 ÷ 217
    15997 ÷ 131072     		y = 0.122047424316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431732177734375 × 2 - 1) × π
    -0.13653564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42893938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122047424316406 × 2 - 1) × π
    0.755905151367188 × 3.1415926535     		Φ = 2.37474607027796
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42893938} λ = -0.42893938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37474607027796))-π/2
    2×atan(10.7482835308713)-π/2
    2×1.47802527853476-π/2
    2.95605055706952-1.57079632675     		φ = 1.38525423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42893938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.576416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38525423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.369221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56588 KachelY 15997 -0.42893938 1.38525423 -24.576416 79.369221
    Oben rechts KachelX + 1 56589 KachelY 15997 -0.42889144 1.38525423 -24.573669 79.369221
    Unten links KachelX 56588 KachelY + 1 15998 -0.42893938 1.38524539 -24.576416 79.368714
    Unten rechts KachelX + 1 56589 KachelY + 1 15998 -0.42889144 1.38524539 -24.573669 79.368714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38525423-1.38524539) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dl = 56.3196400000634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38525423-1.38524539) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dr = 56.3196400000634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42893938--0.42889144) × cos(1.38525423) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184479353064913 × 6371000     		do = 56.3447429245352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42893938--0.42889144) × cos(1.38524539) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184488041331386 × 6371000     		du = 56.3473965447523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38525423)-sin(1.38524539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184479353064913-0.184488041331386)×R²
    abs(-0.42889144--0.42893938)×8.68826647390519e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.68826647390519e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.68826647390519e-06×40589641000000     		ar = 3173.39036285947m²