Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56587 / 14137
↖ ↑ ↗
← N 80.271508°
W 24.579162°		 ← 51.60 m → N 80.271508°
W 24.576416°		 →
↑
51.61 m
↓
↑
51.61 m
↓
N 80.271044°
W 24.579162°		 ← 51.60 m →
2 663 m²		 N 80.271044°
W 24.576416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431728363037109 y=0.107860565185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431728363037109 × 217)
    floor (0.431728363037109 × 131072)
    floor (56587.5)     		tx = 56587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107860565185547 × 217)
    floor (0.107860565185547 × 131072)
    floor (14137.5)     		ty = 14137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56587 / 14137 ti = "17/56587/14137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56587/14137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56587 ÷ 217
    56587 ÷ 131072     		x = 0.431724548339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14137 ÷ 217
    14137 ÷ 131072     		y = 0.107856750488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431724548339844 × 2 - 1) × π
    -0.136550903320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.42898731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107856750488281 × 2 - 1) × π
    0.784286499023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.46390870357127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42898731} λ = -0.42898731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46390870357127))-π/2
    2×atan(11.7506517081006)-π/2
    2×1.4858992195274-π/2
    2.9717984390548-1.57079632675     		φ = 1.40100211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42898731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.579162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40100211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.271508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56587 KachelY 14137 -0.42898731 1.40100211 -24.579162 80.271508
    Oben rechts KachelX + 1 56588 KachelY 14137 -0.42893938 1.40100211 -24.576416 80.271508
    Unten links KachelX 56587 KachelY + 1 14138 -0.42898731 1.40099401 -24.579162 80.271044
    Unten rechts KachelX + 1 56588 KachelY + 1 14138 -0.42893938 1.40099401 -24.576416 80.271044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40100211-1.40099401) × R
    8.10000000006639e-06 × 6371000     		dl = 51.605100000423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40100211-1.40099401) × R
    8.10000000006639e-06 × 6371000     		dr = 51.605100000423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42898731--0.42893938) × cos(1.40100211) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.168979528694032 × 6371000     		do = 51.5999319104845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42898731--0.42893938) × cos(1.40099401) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.168987512206932 × 6371000     		du = 51.6023697721902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40100211)-sin(1.40099401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168979528694032-0.168987512206932)×R²
    abs(-0.42893938--0.42898731)×7.98351290012822e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.98351290012822e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.98351290012822e-06×40589641000000     		ar = 2662.88254935417m²