Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56586 / 14073
↖ ↑ ↗
← N 80.301167°
W 24.581909°		 ← 51.45 m → N 80.301167°
W 24.579162°		 →
↑
51.41 m
↓
↑
51.41 m
↓
N 80.300704°
W 24.581909°		 ← 51.46 m →
2 646 m²		 N 80.300704°
W 24.579162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431720733642578 y=0.107372283935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431720733642578 × 217)
    floor (0.431720733642578 × 131072)
    floor (56586.5)     		tx = 56586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107372283935547 × 217)
    floor (0.107372283935547 × 131072)
    floor (14073.5)     		ty = 14073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56586 / 14073 ti = "17/56586/14073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56586/14073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56586 ÷ 217
    56586 ÷ 131072     		x = 0.431716918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14073 ÷ 217
    14073 ÷ 131072     		y = 0.107368469238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431716918945312 × 2 - 1) × π
    -0.136566162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42903525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107368469238281 × 2 - 1) × π
    0.785263061523438 × 3.1415926535     		Φ = 2.46697666514695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42903525} λ = -0.42903525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46697666514695))-π/2
    2×atan(11.7867576134752)-π/2
    2×1.48615803935049-π/2
    2.97231607870099-1.57079632675     		φ = 1.40151975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42903525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.581909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40151975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.301167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56586 KachelY 14073 -0.42903525 1.40151975 -24.581909 80.301167
    Oben rechts KachelX + 1 56587 KachelY 14073 -0.42898731 1.40151975 -24.579162 80.301167
    Unten links KachelX 56586 KachelY + 1 14074 -0.42903525 1.40151168 -24.581909 80.300704
    Unten rechts KachelX + 1 56587 KachelY + 1 14074 -0.42898731 1.40151168 -24.579162 80.300704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40151975-1.40151168) × R
    8.07000000002667e-06 × 6371000     		dl = 51.4139700001699m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40151975-1.40151168) × R
    8.07000000002667e-06 × 6371000     		dr = 51.4139700001699m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42903525--0.42898731) × cos(1.40151975) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.168469309968168 × 6371000     		do = 51.4548636642833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42903525--0.42898731) × cos(1.40151168) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16847726461736 × 6371000     		du = 51.4572932188994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40151975)-sin(1.40151168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168469309968168-0.16847726461736)×R²
    abs(-0.42898731--0.42903525)×7.95464919262079e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.95464919262079e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.95464919262079e-06×40589641000000     		ar = 2645.56127315819m²