Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56586 / 14042
↖ ↑ ↗
← N 80.315500°
W 24.581909°		 ← 51.38 m → N 80.315500°
W 24.579162°		 →
↑
51.35 m
↓
↑
51.35 m
↓
N 80.315038°
W 24.581909°		 ← 51.38 m →
2 638 m²		 N 80.315038°
W 24.579162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431720733642578 y=0.107135772705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431720733642578 × 217)
    floor (0.431720733642578 × 131072)
    floor (56586.5)     		tx = 56586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107135772705078 × 217)
    floor (0.107135772705078 × 131072)
    floor (14042.5)     		ty = 14042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56586 / 14042 ti = "17/56586/14042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56586/14042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56586 ÷ 217
    56586 ÷ 131072     		x = 0.431716918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14042 ÷ 217
    14042 ÷ 131072     		y = 0.107131958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431716918945312 × 2 - 1) × π
    -0.136566162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42903525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107131958007812 × 2 - 1) × π
    0.785736083984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.46846270903517
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42903525} λ = -0.42903525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46846270903517))-π/2
    2×atan(11.804286273542)-π/2
    2×1.48628312410733-π/2
    2.97256624821467-1.57079632675     		φ = 1.40176992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42903525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.581909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40176992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.315500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56586 KachelY 14042 -0.42903525 1.40176992 -24.581909 80.315500
    Oben rechts KachelX + 1 56587 KachelY 14042 -0.42898731 1.40176992 -24.579162 80.315500
    Unten links KachelX 56586 KachelY + 1 14043 -0.42903525 1.40176186 -24.581909 80.315038
    Unten rechts KachelX + 1 56587 KachelY + 1 14043 -0.42898731 1.40176186 -24.579162 80.315038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40176992-1.40176186) × R
    8.06000000008744e-06 × 6371000     		dl = 51.3502600005571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40176992-1.40176186) × R
    8.06000000008744e-06 × 6371000     		dr = 51.3502600005571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42903525--0.42898731) × cos(1.40176992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.168222710403879 × 6371000     		do = 51.3795458098769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42903525--0.42898731) × cos(1.40176186) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.168230655535473 × 6371000     		du = 51.3819724575731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40176992)-sin(1.40176186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168222710403879-0.168230655535473)×R²
    abs(-0.42898731--0.42903525)×7.94513159318999e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.94513159318999e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.94513159318999e-06×40589641000000     		ar = 2638.41534051751m²