Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56583 / 16057
↖ ↑ ↗
← N 79.338777°
W 24.590149°		 ← 56.49 m → N 79.338777°
W 24.587403°		 →
↑
56.51 m
↓
↑
56.51 m
↓
N 79.338269°
W 24.590149°		 ← 56.50 m →
3 193 m²		 N 79.338269°
W 24.587403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431697845458984 y=0.122509002685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431697845458984 × 217)
    floor (0.431697845458984 × 131072)
    floor (56583.5)     		tx = 56583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122509002685547 × 217)
    floor (0.122509002685547 × 131072)
    floor (16057.5)     		ty = 16057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56583 / 16057 ti = "17/56583/16057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56583/16057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56583 ÷ 217
    56583 ÷ 131072     		x = 0.431694030761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16057 ÷ 217
    16057 ÷ 131072     		y = 0.122505187988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431694030761719 × 2 - 1) × π
    -0.136611938476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.42917906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122505187988281 × 2 - 1) × π
    0.754989624023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.37186985630076
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42917906} λ = -0.42917906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37186985630076))-π/2
    2×atan(10.7174135831178)-π/2
    2×1.47775960216432-π/2
    2.95551920432864-1.57079632675     		φ = 1.38472288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42917906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.590149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38472288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.338777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56583 KachelY 16057 -0.42917906 1.38472288 -24.590149 79.338777
    Oben rechts KachelX + 1 56584 KachelY 16057 -0.42913113 1.38472288 -24.587403 79.338777
    Unten links KachelX 56583 KachelY + 1 16058 -0.42917906 1.38471401 -24.590149 79.338269
    Unten rechts KachelX + 1 56584 KachelY + 1 16058 -0.42913113 1.38471401 -24.587403 79.338269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38472288-1.38471401) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dl = 56.5107700003165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38472288-1.38471401) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dr = 56.5107700003165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42917906--0.42913113) × cos(1.38472288) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.185001557113549 × 6371000     		do = 56.4924510333234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42917906--0.42913113) × cos(1.38471401) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.185010273994349 × 6371000     		du = 56.4951128377399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38472288)-sin(1.38471401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185001557113549-0.185010273994349)×R²
    abs(-0.42913113--0.42917906)×8.71688080050781e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.71688080050781e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.71688080050781e-06×40589641000000     		ar = 3192.50711728297m²