Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56581 / 44813
↖ ↑ ↗
← N 49.359123°
W 24.595642°		 ← 198.93 m → N 49.359123°
W 24.592896°		 →
↑
198.97 m
↓
↑
198.97 m
↓
N 49.357334°
W 24.595642°		 ← 198.94 m →
39 581 m²		 N 49.357334°
W 24.592896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431682586669922 y=0.341899871826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431682586669922 × 217)
    floor (0.431682586669922 × 131072)
    floor (56581.5)     		tx = 56581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341899871826172 × 217)
    floor (0.341899871826172 × 131072)
    floor (44813.5)     		ty = 44813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56581 / 44813 ti = "17/56581/44813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56581/44813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56581 ÷ 217
    56581 ÷ 131072     		x = 0.431678771972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44813 ÷ 217
    44813 ÷ 131072     		y = 0.341896057128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431678771972656 × 2 - 1) × π
    -0.136642456054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.42927494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341896057128906 × 2 - 1) × π
    0.316207885742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.993396370826424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42927494} λ = -0.42927494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.993396370826424))-π/2
    2×atan(2.70039044233145)-π/2
    2×1.21613776678481-π/2
    2.43227553356961-1.57079632675     		φ = 0.86147921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42927494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.595642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86147921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.359123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56581 KachelY 44813 -0.42927494 0.86147921 -24.595642 49.359123
    Oben rechts KachelX + 1 56582 KachelY 44813 -0.42922700 0.86147921 -24.592896 49.359123
    Unten links KachelX 56581 KachelY + 1 44814 -0.42927494 0.86144798 -24.595642 49.357334
    Unten rechts KachelX + 1 56582 KachelY + 1 44814 -0.42922700 0.86144798 -24.592896 49.357334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86147921-0.86144798) × R
    3.12300000000487e-05 × 6371000     		dl = 198.96633000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86147921-0.86144798) × R
    3.12300000000487e-05 × 6371000     		dr = 198.96633000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42927494--0.42922700) × cos(0.86147921) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.651315746488639 × 6371000     		do = 198.928593844814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42927494--0.42922700) × cos(0.86144798) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.651339443708176 × 6371000     		du = 198.935831585628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86147921)-sin(0.86144798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651315746488639-0.651339443708176)×R²
    abs(-0.42922700--0.42927494)×2.36972195372109e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36972195372109e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36972195372109e-05×40589641000000     		ar = 39580.8122860217m²