Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56581 / 16005
↖ ↑ ↗
← N 79.365167°
W 24.595642°		 ← 56.37 m → N 79.365167°
W 24.592896°		 →
↑
56.38 m
↓
↑
56.38 m
↓
N 79.364660°
W 24.595642°		 ← 56.37 m →
3 178 m²		 N 79.364660°
W 24.592896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431682586669922 y=0.122112274169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431682586669922 × 217)
    floor (0.431682586669922 × 131072)
    floor (56581.5)     		tx = 56581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122112274169922 × 217)
    floor (0.122112274169922 × 131072)
    floor (16005.5)     		ty = 16005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56581 / 16005 ti = "17/56581/16005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56581/16005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56581 ÷ 217
    56581 ÷ 131072     		x = 0.431678771972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16005 ÷ 217
    16005 ÷ 131072     		y = 0.122108459472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431678771972656 × 2 - 1) × π
    -0.136642456054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.42927494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122108459472656 × 2 - 1) × π
    0.755783081054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.374362575081
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42927494} λ = -0.42927494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.374362575081))-π/2
    2×atan(10.744162406028)-π/2
    2×1.47798989839472-π/2
    2.95597979678945-1.57079632675     		φ = 1.38518347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42927494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.595642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38518347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.365167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56581 KachelY 16005 -0.42927494 1.38518347 -24.595642 79.365167
    Oben rechts KachelX + 1 56582 KachelY 16005 -0.42922700 1.38518347 -24.592896 79.365167
    Unten links KachelX 56581 KachelY + 1 16006 -0.42927494 1.38517462 -24.595642 79.364660
    Unten rechts KachelX + 1 56582 KachelY + 1 16006 -0.42922700 1.38517462 -24.592896 79.364660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38518347-1.38517462) × R
    8.85000000017122e-06 × 6371000     		dl = 56.3833500010908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38518347-1.38517462) × R
    8.85000000017122e-06 × 6371000     		dr = 56.3833500010908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42927494--0.42922700) × cos(1.38518347) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184548898105925 × 6371000     		do = 56.3659837701498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42927494--0.42922700) × cos(1.38517462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184557596085196 × 6371000     		du = 56.3686403569052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38518347)-sin(1.38517462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184548898105925-0.184557596085196)×R²
    abs(-0.42922700--0.42927494)×8.69797927138816e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.69797927138816e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.69797927138816e-06×40589641000000     		ar = 3178.17788467218m²