Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56581 / 14029
↖ ↑ ↗
← N 80.321505°
W 24.595642°		 ← 51.35 m → N 80.321505°
W 24.592896°		 →
↑
51.35 m
↓
↑
51.35 m
↓
N 80.321043°
W 24.595642°		 ← 51.35 m →
2 637 m²		 N 80.321043°
W 24.592896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431682586669922 y=0.107036590576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431682586669922 × 217)
    floor (0.431682586669922 × 131072)
    floor (56581.5)     		tx = 56581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107036590576172 × 217)
    floor (0.107036590576172 × 131072)
    floor (14029.5)     		ty = 14029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56581 / 14029 ti = "17/56581/14029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56581/14029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56581 ÷ 217
    56581 ÷ 131072     		x = 0.431678771972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14029 ÷ 217
    14029 ÷ 131072     		y = 0.107032775878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431678771972656 × 2 - 1) × π
    -0.136642456054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.42927494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107032775878906 × 2 - 1) × π
    0.785934448242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.46908588873023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42927494} λ = -0.42927494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46908588873023))-π/2
    2×atan(11.8116447576532)-π/2
    2×1.48633552449909-π/2
    2.97267104899818-1.57079632675     		φ = 1.40187472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42927494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.595642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40187472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.321505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56581 KachelY 14029 -0.42927494 1.40187472 -24.595642 80.321505
    Oben rechts KachelX + 1 56582 KachelY 14029 -0.42922700 1.40187472 -24.592896 80.321505
    Unten links KachelX 56581 KachelY + 1 14030 -0.42927494 1.40186666 -24.595642 80.321043
    Unten rechts KachelX + 1 56582 KachelY + 1 14030 -0.42922700 1.40186666 -24.592896 80.321043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40187472-1.40186666) × R
    8.0599999998654e-06 × 6371000     		dl = 51.3502599991424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40187472-1.40186666) × R
    8.0599999998654e-06 × 6371000     		dr = 51.3502599991424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42927494--0.42922700) × cos(1.40187472) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.168119402983545 × 6371000     		do = 51.3479930645736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42927494--0.42922700) × cos(1.40186666) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.168127348257193 × 6371000     		du = 51.3504197556572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40187472)-sin(1.40186666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168119402983545-0.168127348257193)×R²
    abs(-0.42922700--0.42927494)×7.94527364836317e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.94527364836317e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.94527364836317e-06×40589641000000     		ar = 2636.79510009262m²