Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56580 / 44799
↖ ↑ ↗
← N 49.384161°
W 24.598389°		 ← 198.79 m → N 49.384161°
W 24.595642°		 →
↑
198.78 m
↓
↑
198.78 m
↓
N 49.382373°
W 24.598389°		 ← 198.79 m →
39 514 m²		 N 49.382373°
W 24.595642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431674957275391 y=0.341793060302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431674957275391 × 217)
    floor (0.431674957275391 × 131072)
    floor (56580.5)     		tx = 56580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341793060302734 × 217)
    floor (0.341793060302734 × 131072)
    floor (44799.5)     		ty = 44799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56580 / 44799 ti = "17/56580/44799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56580/44799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56580 ÷ 217
    56580 ÷ 131072     		x = 0.431671142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44799 ÷ 217
    44799 ÷ 131072     		y = 0.341789245605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431671142578125 × 2 - 1) × π
    -0.13665771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42932287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341789245605469 × 2 - 1) × π
    0.316421508789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.994067487421104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42932287} λ = -0.42932287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.994067487421104))-π/2
    2×atan(2.70220332743001)-π/2
    2×1.21635626554186-π/2
    2.43271253108372-1.57079632675     		φ = 0.86191620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42932287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.598389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86191620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.384161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56580 KachelY 44799 -0.42932287 0.86191620 -24.598389 49.384161
    Oben rechts KachelX + 1 56581 KachelY 44799 -0.42927494 0.86191620 -24.595642 49.384161
    Unten links KachelX 56580 KachelY + 1 44800 -0.42932287 0.86188500 -24.598389 49.382373
    Unten rechts KachelX + 1 56581 KachelY + 1 44800 -0.42927494 0.86188500 -24.595642 49.382373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86191620-0.86188500) × R
    3.1200000000009e-05 × 6371000     		dl = 198.775200000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86191620-0.86188500) × R
    3.1200000000009e-05 × 6371000     		dr = 198.775200000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42932287--0.42927494) × cos(0.86191620) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.65098409331682 × 6371000     		do = 198.785824233055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42932287--0.42927494) × cos(0.86188500) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.651007776650759 × 6371000     		du = 198.793056223984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86191620)-sin(0.86188500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65098409331682-0.651007776650759)×R²
    abs(-0.42927494--0.42932287)×2.36833339392062e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36833339392062e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36833339392062e-05×40589641000000     		ar = 39514.410742493m²