Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56580 / 44796
↖ ↑ ↗
← N 49.389525°
W 24.598389°		 ← 198.76 m → N 49.389525°
W 24.595642°		 →
↑
198.84 m
↓
↑
198.84 m
↓
N 49.387736°
W 24.598389°		 ← 198.77 m →
39 523 m²		 N 49.387736°
W 24.595642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431674957275391 y=0.341770172119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431674957275391 × 217)
    floor (0.431674957275391 × 131072)
    floor (56580.5)     		tx = 56580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341770172119141 × 217)
    floor (0.341770172119141 × 131072)
    floor (44796.5)     		ty = 44796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56580 / 44796 ti = "17/56580/44796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56580/44796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56580 ÷ 217
    56580 ÷ 131072     		x = 0.431671142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44796 ÷ 217
    44796 ÷ 131072     		y = 0.341766357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431671142578125 × 2 - 1) × π
    -0.13665771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42932287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341766357421875 × 2 - 1) × π
    0.31646728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.994211298119965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42932287} λ = -0.42932287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.994211298119965))-π/2
    2×atan(2.70259196112316)-π/2
    2×1.21640307222538-π/2
    2.43280614445076-1.57079632675     		φ = 0.86200982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42932287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.598389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86200982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.389525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56580 KachelY 44796 -0.42932287 0.86200982 -24.598389 49.389525
    Oben rechts KachelX + 1 56581 KachelY 44796 -0.42927494 0.86200982 -24.595642 49.389525
    Unten links KachelX 56580 KachelY + 1 44797 -0.42932287 0.86197861 -24.598389 49.387736
    Unten rechts KachelX + 1 56581 KachelY + 1 44797 -0.42927494 0.86197861 -24.595642 49.387736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86200982-0.86197861) × R
    3.12100000000592e-05 × 6371000     		dl = 198.838910000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86200982-0.86197861) × R
    3.12100000000592e-05 × 6371000     		dr = 198.838910000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42932287--0.42927494) × cos(0.86200982) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.650913024329885 × 6371000     		do = 198.764122462935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42932287--0.42927494) × cos(0.86197861) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.650936717156563 × 6371000     		du = 198.771357352586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86200982)-sin(0.86197861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650913024329885-0.650936717156563)×R²
    abs(-0.42927494--0.42932287)×2.36928266781344e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36928266781344e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36928266781344e-05×40589641000000     		ar = 39522.7607497899m²