Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56580 / 15996
↖ ↑ ↗
← N 79.369727°
W 24.598389°		 ← 56.33 m → N 79.369727°
W 24.595642°		 →
↑
56.32 m
↓
↑
56.32 m
↓
N 79.369221°
W 24.598389°		 ← 56.33 m →
3 173 m²		 N 79.369221°
W 24.595642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431674957275391 y=0.122043609619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431674957275391 × 217)
    floor (0.431674957275391 × 131072)
    floor (56580.5)     		tx = 56580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122043609619141 × 217)
    floor (0.122043609619141 × 131072)
    floor (15996.5)     		ty = 15996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56580 / 15996 ti = "17/56580/15996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56580/15996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56580 ÷ 217
    56580 ÷ 131072     		x = 0.431671142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15996 ÷ 217
    15996 ÷ 131072     		y = 0.122039794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431671142578125 × 2 - 1) × π
    -0.13665771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42932287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122039794921875 × 2 - 1) × π
    0.75592041015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37479400717758
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42932287} λ = -0.42932287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37479400717758))-π/2
    2×atan(10.7487987826097)-π/2
    2×1.47802970011471-π/2
    2.95605940022942-1.57079632675     		φ = 1.38526307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42932287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.598389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38526307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.369727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56580 KachelY 15996 -0.42932287 1.38526307 -24.598389 79.369727
    Oben rechts KachelX + 1 56581 KachelY 15996 -0.42927494 1.38526307 -24.595642 79.369727
    Unten links KachelX 56580 KachelY + 1 15997 -0.42932287 1.38525423 -24.598389 79.369221
    Unten rechts KachelX + 1 56581 KachelY + 1 15997 -0.42927494 1.38525423 -24.595642 79.369221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38526307-1.38525423) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dl = 56.3196400000634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38526307-1.38525423) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dr = 56.3196400000634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42932287--0.42927494) × cos(1.38526307) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184470664784022 × 6371000     		do = 56.3303366739331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42932287--0.42927494) × cos(1.38525423) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184479353064913 × 6371000     		du = 56.3329897450229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38526307)-sin(1.38525423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184470664784022-0.184479353064913)×R²
    abs(-0.42927494--0.42932287)×8.68828089015117e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.68828089015117e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.68828089015117e-06×40589641000000     		ar = 3172.57899276191m²