Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56578 / 16050
↖ ↑ ↗
← N 79.342333°
W 24.603882°		 ← 56.49 m → N 79.342333°
W 24.601135°		 →
↑
56.51 m
↓
↑
56.51 m
↓
N 79.341825°
W 24.603882°		 ← 56.49 m →
3 192 m²		 N 79.341825°
W 24.601135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431659698486328 y=0.122455596923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431659698486328 × 217)
    floor (0.431659698486328 × 131072)
    floor (56578.5)     		tx = 56578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122455596923828 × 217)
    floor (0.122455596923828 × 131072)
    floor (16050.5)     		ty = 16050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56578 / 16050 ti = "17/56578/16050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56578/16050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56578 ÷ 217
    56578 ÷ 131072     		x = 0.431655883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16050 ÷ 217
    16050 ÷ 131072     		y = 0.122451782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431655883789062 × 2 - 1) × π
    -0.136688232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42941875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122451782226562 × 2 - 1) × π
    0.755096435546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3722054145981
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42941875} λ = -0.42941875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3722054145981))-π/2
    2×atan(10.7210105036261)-π/2
    2×1.47779063645116-π/2
    2.95558127290231-1.57079632675     		φ = 1.38478495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42941875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.603882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38478495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.342333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56578 KachelY 16050 -0.42941875 1.38478495 -24.603882 79.342333
    Oben rechts KachelX + 1 56579 KachelY 16050 -0.42937081 1.38478495 -24.601135 79.342333
    Unten links KachelX 56578 KachelY + 1 16051 -0.42941875 1.38477608 -24.603882 79.341825
    Unten rechts KachelX + 1 56579 KachelY + 1 16051 -0.42937081 1.38477608 -24.601135 79.341825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38478495-1.38477608) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dl = 56.5107700003165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38478495-1.38477608) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dr = 56.5107700003165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42941875--0.42937081) × cos(1.38478495) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.184940558195428 × 6371000     		do = 56.4856068428802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42941875--0.42937081) × cos(1.38477608) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.184949275178069 × 6371000     		du = 56.4882692337538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38478495)-sin(1.38477608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184940558195428-0.184949275178069)×R²
    abs(-0.42937081--0.42941875)×8.7169826407385e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.7169826407385e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.7169826407385e-06×40589641000000     		ar = 3192.12036355373m²