Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56578 / 16006
↖ ↑ ↗
← N 79.364660°
W 24.603882°		 ← 56.37 m → N 79.364660°
W 24.601135°		 →
↑
56.32 m
↓
↑
56.32 m
↓
N 79.364153°
W 24.603882°		 ← 56.37 m →
3 175 m²		 N 79.364153°
W 24.601135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431659698486328 y=0.122119903564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431659698486328 × 217)
    floor (0.431659698486328 × 131072)
    floor (56578.5)     		tx = 56578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122119903564453 × 217)
    floor (0.122119903564453 × 131072)
    floor (16006.5)     		ty = 16006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56578 / 16006 ti = "17/56578/16006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56578/16006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56578 ÷ 217
    56578 ÷ 131072     		x = 0.431655883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16006 ÷ 217
    16006 ÷ 131072     		y = 0.122116088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431655883789062 × 2 - 1) × π
    -0.136688232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42941875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122116088867188 × 2 - 1) × π
    0.755767822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37431463818138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42941875} λ = -0.42941875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37431463818138))-π/2
    2×atan(10.7436473765378)-π/2
    2×1.47798547493952-π/2
    2.95597094987904-1.57079632675     		φ = 1.38517462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42941875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.603882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38517462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.364660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56578 KachelY 16006 -0.42941875 1.38517462 -24.603882 79.364660
    Oben rechts KachelX + 1 56579 KachelY 16006 -0.42937081 1.38517462 -24.601135 79.364660
    Unten links KachelX 56578 KachelY + 1 16007 -0.42941875 1.38516578 -24.603882 79.364153
    Unten rechts KachelX + 1 56579 KachelY + 1 16007 -0.42937081 1.38516578 -24.601135 79.364153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38517462-1.38516578) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dl = 56.3196400000634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38517462-1.38516578) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dr = 56.3196400000634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42941875--0.42937081) × cos(1.38517462) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.184557596085196 × 6371000     		do = 56.3686403569705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42941875--0.42937081) × cos(1.38516578) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.184566284221812 × 6371000     		du = 56.3712939375255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38517462)-sin(1.38516578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184557596085196-0.184566284221812)×R²
    abs(-0.42937081--0.42941875)×8.68813661550338e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.68813661550338e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.68813661550338e-06×40589641000000     		ar = 3174.73625652991m²