Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56578 / 14138
↖ ↑ ↗
← N 80.271044°
W 24.603882°		 ← 51.61 m → N 80.271044°
W 24.601135°		 →
↑
51.61 m
↓
↑
51.61 m
↓
N 80.270580°
W 24.603882°		 ← 51.62 m →
2 664 m²		 N 80.270580°
W 24.601135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431659698486328 y=0.107868194580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431659698486328 × 217)
    floor (0.431659698486328 × 131072)
    floor (56578.5)     		tx = 56578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107868194580078 × 217)
    floor (0.107868194580078 × 131072)
    floor (14138.5)     		ty = 14138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56578 / 14138 ti = "17/56578/14138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56578/14138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56578 ÷ 217
    56578 ÷ 131072     		x = 0.431655883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14138 ÷ 217
    14138 ÷ 131072     		y = 0.107864379882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431655883789062 × 2 - 1) × π
    -0.136688232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42941875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107864379882812 × 2 - 1) × π
    0.784271240234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.46386076667165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42941875} λ = -0.42941875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46386076667165))-π/2
    2×atan(11.7500884317901)-π/2
    2×1.48589516925442-π/2
    2.97179033850884-1.57079632675     		φ = 1.40099401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42941875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.603882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40099401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.271044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56578 KachelY 14138 -0.42941875 1.40099401 -24.603882 80.271044
    Oben rechts KachelX + 1 56579 KachelY 14138 -0.42937081 1.40099401 -24.601135 80.271044
    Unten links KachelX 56578 KachelY + 1 14139 -0.42941875 1.40098591 -24.603882 80.270580
    Unten rechts KachelX + 1 56579 KachelY + 1 14139 -0.42937081 1.40098591 -24.601135 80.270580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40099401-1.40098591) × R
    8.10000000006639e-06 × 6371000     		dl = 51.605100000423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40099401-1.40098591) × R
    8.10000000006639e-06 × 6371000     		dr = 51.605100000423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42941875--0.42937081) × cos(1.40099401) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.168987512206932 × 6371000     		do = 51.6131359665873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42941875--0.42937081) × cos(1.40098591) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.168995495708745 × 6371000     		du = 51.6155743335362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40099401)-sin(1.40098591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168987512206932-0.168995495708745)×R²
    abs(-0.42937081--0.42941875)×7.98350181283047e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.98350181283047e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.98350181283047e-06×40589641000000     		ar = 2663.5639589753m²