Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56577 / 15975
↖ ↑ ↗
← N 79.380362°
W 24.606628°		 ← 56.27 m → N 79.380362°
W 24.603882°		 →
↑
56.26 m
↓
↑
56.26 m
↓
N 79.379856°
W 24.606628°		 ← 56.28 m →
3 166 m²		 N 79.379856°
W 24.603882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431652069091797 y=0.121883392333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431652069091797 × 217)
    floor (0.431652069091797 × 131072)
    floor (56577.5)     		tx = 56577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121883392333984 × 217)
    floor (0.121883392333984 × 131072)
    floor (15975.5)     		ty = 15975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56577 / 15975 ti = "17/56577/15975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56577/15975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56577 ÷ 217
    56577 ÷ 131072     		x = 0.431648254394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15975 ÷ 217
    15975 ÷ 131072     		y = 0.121879577636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431648254394531 × 2 - 1) × π
    -0.136703491210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.42946668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121879577636719 × 2 - 1) × π
    0.756240844726562 × 3.1415926535     		Φ = 2.3758006820696
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42946668} λ = -0.42946668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3758006820696))-π/2
    2×atan(10.7596247766775)-π/2
    2×1.47812250518759-π/2
    2.95624501037518-1.57079632675     		φ = 1.38544868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42946668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.606628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38544868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.380362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56577 KachelY 15975 -0.42946668 1.38544868 -24.606628 79.380362
    Oben rechts KachelX + 1 56578 KachelY 15975 -0.42941875 1.38544868 -24.603882 79.380362
    Unten links KachelX 56577 KachelY + 1 15976 -0.42946668 1.38543985 -24.606628 79.379856
    Unten rechts KachelX + 1 56578 KachelY + 1 15976 -0.42941875 1.38543985 -24.603882 79.379856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38544868-1.38543985) × R
    8.83000000007073e-06 × 6371000     		dl = 56.2559300004506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38544868-1.38543985) × R
    8.83000000007073e-06 × 6371000     		dr = 56.2559300004506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42946668--0.42941875) × cos(1.38544868) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.184288237042545 × 6371000     		do = 56.2746301684021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42946668--0.42941875) × cos(1.38543985) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.184296915797265 × 6371000     		du = 56.2772803305611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38544868)-sin(1.38543985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184288237042545-0.184296915797265)×R²
    abs(-0.42941875--0.42946668)×8.67875471960433e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.67875471960433e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.67875471960433e-06×40589641000000     		ar = 3165.85619916217m²