Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56574 / 87085
↖ ↑ ↗
← S 50.814612°
W 24.614868°		 ← 192.94 m → S 50.814612°
W 24.612122°		 →
↑
192.98 m
↓
↑
192.98 m
↓
S 50.816348°
W 24.614868°		 ← 192.93 m →
37 232 m²		 S 50.816348°
W 24.612122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431629180908203 y=0.664409637451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431629180908203 × 217)
    floor (0.431629180908203 × 131072)
    floor (56574.5)     		tx = 56574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664409637451172 × 217)
    floor (0.664409637451172 × 131072)
    floor (87085.5)     		ty = 87085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56574 / 87085 ti = "17/56574/87085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56574/87085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56574 ÷ 217
    56574 ÷ 131072     		x = 0.431625366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87085 ÷ 217
    87085 ÷ 131072     		y = 0.664405822753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431625366210938 × 2 - 1) × π
    -0.136749267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42961049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664405822753906 × 2 - 1) × π
    -0.328811645507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.03299224991259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42961049} λ = -0.42961049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03299224991259))-π/2
    2×atan(0.355940303171208)-π/2
    2×0.341957015979961-π/2
    0.683914031959922-1.57079632675     		φ = -0.88688229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42961049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.614868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88688229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.814612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56574 KachelY 87085 -0.42961049 -0.88688229 -24.614868 -50.814612
    Oben rechts KachelX + 1 56575 KachelY 87085 -0.42956256 -0.88688229 -24.612122 -50.814612
    Unten links KachelX 56574 KachelY + 1 87086 -0.42961049 -0.88691258 -24.614868 -50.816348
    Unten rechts KachelX + 1 56575 KachelY + 1 87086 -0.42956256 -0.88691258 -24.612122 -50.816348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88688229--0.88691258) × R
    3.02899999999884e-05 × 6371000     		dl = 192.977589999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88688229--0.88691258) × R
    3.02899999999884e-05 × 6371000     		dr = 192.977589999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42961049--0.42956256) × cos(-0.88688229) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.63183164803052 × 6371000     		do = 192.937394660963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42961049--0.42956256) × cos(-0.88691258) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.63180816979054 × 6371000     		du = 192.930225297942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88688229)-sin(-0.88691258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63183164803052-0.63180816979054)×R²
    abs(-0.42956256--0.42961049)×2.34782399803901e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34782399803901e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34782399803901e-05×40589641000000     		ar = 37231.9016822129m²