Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56574 / 15958
↖ ↑ ↗
← N 79.388964°
W 24.614868°		 ← 56.23 m → N 79.388964°
W 24.612122°		 →
↑
56.26 m
↓
↑
56.26 m
↓
N 79.388458°
W 24.614868°		 ← 56.23 m →
3 163 m²		 N 79.388458°
W 24.612122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431629180908203 y=0.121753692626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431629180908203 × 217)
    floor (0.431629180908203 × 131072)
    floor (56574.5)     		tx = 56574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121753692626953 × 217)
    floor (0.121753692626953 × 131072)
    floor (15958.5)     		ty = 15958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56574 / 15958 ti = "17/56574/15958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56574/15958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56574 ÷ 217
    56574 ÷ 131072     		x = 0.431625366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15958 ÷ 217
    15958 ÷ 131072     		y = 0.121749877929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431625366210938 × 2 - 1) × π
    -0.136749267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42961049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121749877929688 × 2 - 1) × π
    0.756500244140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37661560936314
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42961049} λ = -0.42961049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37661560936314))-π/2
    2×atan(10.7683966623154)-π/2
    2×1.47819756587832-π/2
    2.95639513175665-1.57079632675     		φ = 1.38559881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42961049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.614868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38559881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.388964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56574 KachelY 15958 -0.42961049 1.38559881 -24.614868 79.388964
    Oben rechts KachelX + 1 56575 KachelY 15958 -0.42956256 1.38559881 -24.612122 79.388964
    Unten links KachelX 56574 KachelY + 1 15959 -0.42961049 1.38558998 -24.614868 79.388458
    Unten rechts KachelX + 1 56575 KachelY + 1 15959 -0.42956256 1.38558998 -24.612122 79.388458
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38559881-1.38558998) × R
    8.83000000007073e-06 × 6371000     		dl = 56.2559300004506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38559881-1.38558998) × R
    8.83000000007073e-06 × 6371000     		dr = 56.2559300004506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42961049--0.42956256) × cos(1.38559881) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184140676356449 × 6371000     		do = 56.2295707378125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42961049--0.42956256) × cos(1.38558998) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184149355355377 × 6371000     		du = 56.2322209745438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38559881)-sin(1.38558998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184140676356449-0.184149355355377)×R²
    abs(-0.42956256--0.42961049)×8.67899892886825e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.67899892886825e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.67899892886825e-06×40589641000000     		ar = 3163.32134116436m²