Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56570 / 44839
↖ ↑ ↗
← N 49.312590°
W 24.625854°		 ← 199.08 m → N 49.312590°
W 24.623108°		 →
↑
199.09 m
↓
↑
199.09 m
↓
N 49.310799°
W 24.625854°		 ← 199.08 m →
39 635 m²		 N 49.310799°
W 24.623108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431598663330078 y=0.342098236083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431598663330078 × 217)
    floor (0.431598663330078 × 131072)
    floor (56570.5)     		tx = 56570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342098236083984 × 217)
    floor (0.342098236083984 × 131072)
    floor (44839.5)     		ty = 44839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56570 / 44839 ti = "17/56570/44839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56570/44839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56570 ÷ 217
    56570 ÷ 131072     		x = 0.431594848632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44839 ÷ 217
    44839 ÷ 131072     		y = 0.342094421386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431594848632812 × 2 - 1) × π
    -0.136810302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42980224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342094421386719 × 2 - 1) × π
    0.315811157226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.992150011436302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42980224} λ = -0.42980224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.992150011436302))-π/2
    2×atan(2.69702688188465)-π/2
    2×1.21573168808622-π/2
    2.43146337617244-1.57079632675     		φ = 0.86066705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42980224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.625854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86066705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.312590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56570 KachelY 44839 -0.42980224 0.86066705 -24.625854 49.312590
    Oben rechts KachelX + 1 56571 KachelY 44839 -0.42975431 0.86066705 -24.623108 49.312590
    Unten links KachelX 56570 KachelY + 1 44840 -0.42980224 0.86063580 -24.625854 49.310799
    Unten rechts KachelX + 1 56571 KachelY + 1 44840 -0.42975431 0.86063580 -24.623108 49.310799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86066705-0.86063580) × R
    3.12500000000382e-05 × 6371000     		dl = 199.093750000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86066705-0.86063580) × R
    3.12500000000382e-05 × 6371000     		dr = 199.093750000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42980224--0.42975431) × cos(0.86066705) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.651931804167081 × 6371000     		do = 199.075219142144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42980224--0.42975431) × cos(0.86063580) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.651955500023835 × 6371000     		du = 199.082454957065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86066705)-sin(0.86063580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651931804167081-0.651955500023835)×R²
    abs(-0.42975431--0.42980224)×2.36958567536583e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36958567536583e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36958567536583e-05×40589641000000     		ar = 39635.3522170351m²