Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56569 / 44843
↖ ↑ ↗
← N 49.305426°
W 24.628601°		 ← 199.15 m → N 49.305426°
W 24.625854°		 →
↑
199.09 m
↓
↑
199.09 m
↓
N 49.303636°
W 24.628601°		 ← 199.15 m →
39 649 m²		 N 49.303636°
W 24.625854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431591033935547 y=0.342128753662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431591033935547 × 217)
    floor (0.431591033935547 × 131072)
    floor (56569.5)     		tx = 56569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342128753662109 × 217)
    floor (0.342128753662109 × 131072)
    floor (44843.5)     		ty = 44843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56569 / 44843 ti = "17/56569/44843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56569/44843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56569 ÷ 217
    56569 ÷ 131072     		x = 0.431587219238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44843 ÷ 217
    44843 ÷ 131072     		y = 0.342124938964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431587219238281 × 2 - 1) × π
    -0.136825561523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.42985018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342124938964844 × 2 - 1) × π
    0.315750122070312 × 3.1415926535     		Φ = 0.991958263837822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42985018} λ = -0.42985018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.991958263837822))-π/2
    2×atan(2.69650978303483)-π/2
    2×1.21566918036329-π/2
    2.43133836072658-1.57079632675     		φ = 0.86054203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42985018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.628601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86054203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.305426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56569 KachelY 44843 -0.42985018 0.86054203 -24.628601 49.305426
    Oben rechts KachelX + 1 56570 KachelY 44843 -0.42980224 0.86054203 -24.625854 49.305426
    Unten links KachelX 56569 KachelY + 1 44844 -0.42985018 0.86051078 -24.628601 49.303636
    Unten rechts KachelX + 1 56570 KachelY + 1 44844 -0.42980224 0.86051078 -24.625854 49.303636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86054203-0.86051078) × R
    3.12499999999272e-05 × 6371000     		dl = 199.093749999536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86054203-0.86051078) × R
    3.12499999999272e-05 × 6371000     		dr = 199.093749999536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42985018--0.42980224) × cos(0.86054203) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.652026598937873 × 6371000     		do = 199.145706480383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42985018--0.42980224) × cos(0.86051078) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.652050292247379 × 6371000     		du = 199.152943026972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86054203)-sin(0.86051078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652026598937873-0.652050292247379)×R²
    abs(-0.42980224--0.42985018)×2.36933095060232e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36933095060232e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36933095060232e-05×40589641000000     		ar = 39649.3858782805m²