Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56567 / 87288
↖ ↑ ↗
← S 51.165567°
W 24.634094°		 ← 191.48 m → S 51.165567°
W 24.631348°		 →
↑
191.51 m
↓
↑
191.51 m
↓
S 51.167289°
W 24.634094°		 ← 191.48 m →
36 671 m²		 S 51.167289°
W 24.631348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431575775146484 y=0.665958404541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431575775146484 × 217)
    floor (0.431575775146484 × 131072)
    floor (56567.5)     		tx = 56567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665958404541016 × 217)
    floor (0.665958404541016 × 131072)
    floor (87288.5)     		ty = 87288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56567 / 87288 ti = "17/56567/87288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56567/87288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56567 ÷ 217
    56567 ÷ 131072     		x = 0.431571960449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87288 ÷ 217
    87288 ÷ 131072     		y = 0.66595458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431571960449219 × 2 - 1) × π
    -0.136856079101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.42994605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66595458984375 × 2 - 1) × π
    -0.3319091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04272344053546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42994605} λ = -0.42994605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04272344053546))-π/2
    2×atan(0.352493378770695)-π/2
    2×0.338894363011868-π/2
    0.677788726023736-1.57079632675     		φ = -0.89300760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42994605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.634094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89300760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.165567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56567 KachelY 87288 -0.42994605 -0.89300760 -24.634094 -51.165567
    Oben rechts KachelX + 1 56568 KachelY 87288 -0.42989812 -0.89300760 -24.631348 -51.165567
    Unten links KachelX 56567 KachelY + 1 87289 -0.42994605 -0.89303766 -24.634094 -51.167289
    Unten rechts KachelX + 1 56568 KachelY + 1 87289 -0.42989812 -0.89303766 -24.631348 -51.167289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89300760--0.89303766) × R
    3.00599999999429e-05 × 6371000     		dl = 191.512259999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89300760--0.89303766) × R
    3.00599999999429e-05 × 6371000     		dr = 191.512259999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42994605--0.42989812) × cos(-0.89300760) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.627072062388554 × 6371000     		do = 191.483997927373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42994605--0.42989812) × cos(-0.89303766) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.627048646530079 × 6371000     		du = 191.476847613295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89300760)-sin(-0.89303766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627072062388554-0.627048646530079)×R²
    abs(-0.42989812--0.42994605)×2.34158584754285e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34158584754285e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34158584754285e-05×40589641000000     		ar = 36670.8485132345m²