Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56566 / 15926
↖ ↑ ↗
← N 79.405136°
W 24.636841°		 ← 56.16 m → N 79.405136°
W 24.634094°		 →
↑
56.13 m
↓
↑
56.13 m
↓
N 79.404631°
W 24.636841°		 ← 56.16 m →
3 152 m²		 N 79.404631°
W 24.634094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431568145751953 y=0.121509552001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431568145751953 × 217)
    floor (0.431568145751953 × 131072)
    floor (56566.5)     		tx = 56566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121509552001953 × 217)
    floor (0.121509552001953 × 131072)
    floor (15926.5)     		ty = 15926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56566 / 15926 ti = "17/56566/15926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56566/15926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56566 ÷ 217
    56566 ÷ 131072     		x = 0.431564331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15926 ÷ 217
    15926 ÷ 131072     		y = 0.121505737304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431564331054688 × 2 - 1) × π
    -0.136871337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42999399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121505737304688 × 2 - 1) × π
    0.756988525390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37814959015099
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42999399} λ = -0.42999399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37814959015099))-π/2
    2×atan(10.7849278519332)-π/2
    2×1.47833869359078-π/2
    2.95667738718157-1.57079632675     		φ = 1.38588106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42999399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.636841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38588106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.405136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56566 KachelY 15926 -0.42999399 1.38588106 -24.636841 79.405136
    Oben rechts KachelX + 1 56567 KachelY 15926 -0.42994605 1.38588106 -24.634094 79.405136
    Unten links KachelX 56566 KachelY + 1 15927 -0.42999399 1.38587225 -24.636841 79.404631
    Unten rechts KachelX + 1 56567 KachelY + 1 15927 -0.42994605 1.38587225 -24.634094 79.404631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38588106-1.38587225) × R
    8.80999999997023e-06 × 6371000     		dl = 56.1285099998103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38588106-1.38587225) × R
    8.80999999997023e-06 × 6371000     		dr = 56.1285099998103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42999399--0.42994605) × cos(1.38588106) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183863245528871 × 6371000     		do = 56.1565678244202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42999399--0.42994605) × cos(1.38587225) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183871905327388 × 6371000     		du = 56.1592127497906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38588106)-sin(1.38587225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183863245528871-0.183871905327388)×R²
    abs(-0.42994605--0.42999399)×8.65979851744081e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.65979851744081e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.65979851744081e-06×40589641000000     		ar = 3152.05870644728m²