Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56565 / 42766
↖ ↑ ↗
← N 52.885706°
W 24.639588°		 ← 184.30 m → N 52.885706°
W 24.636841°		 →
↑
184.31 m
↓
↑
184.31 m
↓
N 52.884049°
W 24.639588°		 ← 184.30 m →
33 969 m²		 N 52.884049°
W 24.636841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431560516357422 y=0.326282501220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431560516357422 × 217)
    floor (0.431560516357422 × 131072)
    floor (56565.5)     		tx = 56565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326282501220703 × 217)
    floor (0.326282501220703 × 131072)
    floor (42766.5)     		ty = 42766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56565 / 42766 ti = "17/56565/42766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56565/42766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56565 ÷ 217
    56565 ÷ 131072     		x = 0.431556701660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42766 ÷ 217
    42766 ÷ 131072     		y = 0.326278686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431556701660156 × 2 - 1) × π
    -0.136886596679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.43004193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326278686523438 × 2 - 1) × π
    0.347442626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09152320434868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43004193} λ = -0.43004193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09152320434868))-π/2
    2×atan(2.97880795190031)-π/2
    2×1.2469130115302-π/2
    2.49382602306041-1.57079632675     		φ = 0.92302970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43004193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.639588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92302970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.885706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56565 KachelY 42766 -0.43004193 0.92302970 -24.639588 52.885706
    Oben rechts KachelX + 1 56566 KachelY 42766 -0.42999399 0.92302970 -24.636841 52.885706
    Unten links KachelX 56565 KachelY + 1 42767 -0.43004193 0.92300077 -24.639588 52.884049
    Unten rechts KachelX + 1 56566 KachelY + 1 42767 -0.42999399 0.92300077 -24.636841 52.884049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92302970-0.92300077) × R
    2.89299999999271e-05 × 6371000     		dl = 184.313029999535m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92302970-0.92300077) × R
    2.89299999999271e-05 × 6371000     		dr = 184.313029999535m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43004193--0.42999399) × cos(0.92302970) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.603406945668485 × 6371000     		do = 184.296012902029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43004193--0.42999399) × cos(0.92300077) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.603430015164787 × 6371000     		du = 184.303058920009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92302970)-sin(0.92300077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603406945668485-0.603430015164787)×R²
    abs(-0.42999399--0.43004193)×2.30694963024858e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30694963024858e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30694963024858e-05×40589641000000     		ar = 33968.8058935212m²