Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56564 / 42767
↖ ↑ ↗
← N 52.884049°
W 24.642334°		 ← 184.26 m → N 52.884049°
W 24.639588°		 →
↑
184.31 m
↓
↑
184.31 m
↓
N 52.882391°
W 24.642334°		 ← 184.27 m →
33 963 m²		 N 52.882391°
W 24.639588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431552886962891 y=0.326290130615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431552886962891 × 217)
    floor (0.431552886962891 × 131072)
    floor (56564.5)     		tx = 56564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326290130615234 × 217)
    floor (0.326290130615234 × 131072)
    floor (42767.5)     		ty = 42767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56564 / 42767 ti = "17/56564/42767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56564/42767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56564 ÷ 217
    56564 ÷ 131072     		x = 0.431549072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42767 ÷ 217
    42767 ÷ 131072     		y = 0.326286315917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431549072265625 × 2 - 1) × π
    -0.13690185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43008986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326286315917969 × 2 - 1) × π
    0.347427368164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.09147526744906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43008986} λ = -0.43008986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09147526744906))-π/2
    2×atan(2.97866516050505)-π/2
    2×1.24689854852461-π/2
    2.49379709704922-1.57079632675     		φ = 0.92300077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43008986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.642334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92300077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.884049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56564 KachelY 42767 -0.43008986 0.92300077 -24.642334 52.884049
    Oben rechts KachelX + 1 56565 KachelY 42767 -0.43004193 0.92300077 -24.639588 52.884049
    Unten links KachelX 56564 KachelY + 1 42768 -0.43008986 0.92297184 -24.642334 52.882391
    Unten rechts KachelX + 1 56565 KachelY + 1 42768 -0.43004193 0.92297184 -24.639588 52.882391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92300077-0.92297184) × R
    2.89300000000381e-05 × 6371000     		dl = 184.313030000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92300077-0.92297184) × R
    2.89300000000381e-05 × 6371000     		dr = 184.313030000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43008986--0.43004193) × cos(0.92300077) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.603430015164787 × 6371000     		do = 184.26461439355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43008986--0.43004193) × cos(0.92297184) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.603453084156052 × 6371000     		du = 184.271658787552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92300077)-sin(0.92297184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603430015164787-0.603453084156052)×R²
    abs(-0.43004193--0.43008986)×2.30689912649185e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.30689912649185e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.30689912649185e-05×40589641000000     		ar = 33963.018589898m²