Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56564 / 42765
↖ ↑ ↗
← N 52.887363°
W 24.642334°		 ← 184.25 m → N 52.887363°
W 24.639588°		 →
↑
184.25 m
↓
↑
184.25 m
↓
N 52.885706°
W 24.642334°		 ← 184.26 m →
33 949 m²		 N 52.885706°
W 24.639588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431552886962891 y=0.326274871826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431552886962891 × 217)
    floor (0.431552886962891 × 131072)
    floor (56564.5)     		tx = 56564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326274871826172 × 217)
    floor (0.326274871826172 × 131072)
    floor (42765.5)     		ty = 42765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56564 / 42765 ti = "17/56564/42765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56564/42765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56564 ÷ 217
    56564 ÷ 131072     		x = 0.431549072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42765 ÷ 217
    42765 ÷ 131072     		y = 0.326271057128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431549072265625 × 2 - 1) × π
    -0.13690185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43008986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326271057128906 × 2 - 1) × π
    0.347457885742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.0915711412483
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43008986} λ = -0.43008986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0915711412483))-π/2
    2×atan(2.97895075014071)-π/2
    2×1.24692747398294-π/2
    2.49385494796588-1.57079632675     		φ = 0.92305862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43008986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.642334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92305862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.887363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56564 KachelY 42765 -0.43008986 0.92305862 -24.642334 52.887363
    Oben rechts KachelX + 1 56565 KachelY 42765 -0.43004193 0.92305862 -24.639588 52.887363
    Unten links KachelX 56564 KachelY + 1 42766 -0.43008986 0.92302970 -24.642334 52.885706
    Unten rechts KachelX + 1 56565 KachelY + 1 42766 -0.43004193 0.92302970 -24.639588 52.885706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92305862-0.92302970) × R
    2.89200000000989e-05 × 6371000     		dl = 184.24932000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92305862-0.92302970) × R
    2.89200000000989e-05 × 6371000     		dr = 184.24932000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43008986--0.43004193) × cos(0.92305862) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.603383883641672 × 6371000     		do = 184.250527578004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43008986--0.43004193) × cos(0.92302970) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.603406945668485 × 6371000     		du = 184.257569845328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92305862)-sin(0.92302970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603383883641672-0.603406945668485)×R²
    abs(-0.43004193--0.43008986)×2.30620268122372e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.30620268122372e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.30620268122372e-05×40589641000000     		ar = 33948.683184892m²