Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56563 / 42768
↖ ↑ ↗
← N 52.882391°
W 24.645081°		 ← 184.31 m → N 52.882391°
W 24.642334°		 →
↑
184.31 m
↓
↑
184.31 m
↓
N 52.880733°
W 24.645081°		 ← 184.32 m →
33 971 m²		 N 52.880733°
W 24.642334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431545257568359 y=0.326297760009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431545257568359 × 217)
    floor (0.431545257568359 × 131072)
    floor (56563.5)     		tx = 56563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326297760009766 × 217)
    floor (0.326297760009766 × 131072)
    floor (42768.5)     		ty = 42768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56563 / 42768 ti = "17/56563/42768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56563/42768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56563 ÷ 217
    56563 ÷ 131072     		x = 0.431541442871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42768 ÷ 217
    42768 ÷ 131072     		y = 0.3262939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431541442871094 × 2 - 1) × π
    -0.136917114257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.43013780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3262939453125 × 2 - 1) × π
    0.347412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09142733054944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43013780} λ = -0.43013780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09142733054944))-π/2
    2×atan(2.9785223759546)-π/2
    2×1.24688408496615-π/2
    2.49376816993229-1.57079632675     		φ = 0.92297184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43013780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.645081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92297184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.882391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56563 KachelY 42768 -0.43013780 0.92297184 -24.645081 52.882391
    Oben rechts KachelX + 1 56564 KachelY 42768 -0.43008986 0.92297184 -24.642334 52.882391
    Unten links KachelX 56563 KachelY + 1 42769 -0.43013780 0.92294291 -24.645081 52.880733
    Unten rechts KachelX + 1 56564 KachelY + 1 42769 -0.43008986 0.92294291 -24.642334 52.880733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92297184-0.92294291) × R
    2.89300000000381e-05 × 6371000     		dl = 184.313030000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92297184-0.92294291) × R
    2.89300000000381e-05 × 6371000     		dr = 184.313030000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43013780--0.43008986) × cos(0.92297184) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.603453084156052 × 6371000     		do = 184.310104783737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43013780--0.43008986) × cos(0.92294291) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.60347615264226 × 6371000     		du = 184.317150493208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92297184)-sin(0.92294291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603453084156052-0.60347615264226)×R²
    abs(-0.43008986--0.43013780)×2.30684862079222e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30684862079222e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30684862079222e-05×40589641000000     		ar = 33971.4031827499m²