Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56563 / 29611
↖ ↑ ↗
← N 69.738091°
W 24.645081°		 ← 105.77 m → N 69.738091°
W 24.642334°		 →
↑
105.76 m
↓
↑
105.76 m
↓
N 69.737140°
W 24.645081°		 ← 105.78 m →
11 187 m²		 N 69.737140°
W 24.642334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431545257568359 y=0.225917816162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431545257568359 × 217)
    floor (0.431545257568359 × 131072)
    floor (56563.5)     		tx = 56563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225917816162109 × 217)
    floor (0.225917816162109 × 131072)
    floor (29611.5)     		ty = 29611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56563 / 29611 ti = "17/56563/29611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56563/29611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56563 ÷ 217
    56563 ÷ 131072     		x = 0.431541442871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29611 ÷ 217
    29611 ÷ 131072     		y = 0.225914001464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431541442871094 × 2 - 1) × π
    -0.136917114257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.43013780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225914001464844 × 2 - 1) × π
    0.548171997070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.72213311885052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43013780} λ = -0.43013780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72213311885052))-π/2
    2×atan(5.5964536416029)-π/2
    2×1.39397781262382-π/2
    2.78795562524764-1.57079632675     		φ = 1.21715930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43013780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.645081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21715930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.738091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56563 KachelY 29611 -0.43013780 1.21715930 -24.645081 69.738091
    Oben rechts KachelX + 1 56564 KachelY 29611 -0.43008986 1.21715930 -24.642334 69.738091
    Unten links KachelX 56563 KachelY + 1 29612 -0.43013780 1.21714270 -24.645081 69.737140
    Unten rechts KachelX + 1 56564 KachelY + 1 29612 -0.43008986 1.21714270 -24.642334 69.737140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21715930-1.21714270) × R
    1.66000000001443e-05 × 6371000     		dl = 105.758600000919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21715930-1.21714270) × R
    1.66000000001443e-05 × 6371000     		dr = 105.758600000919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43013780--0.43008986) × cos(1.21715930) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.346312055732791 × 6371000     		do = 105.772615893162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43013780--0.43008986) × cos(1.21714270) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.346327628466686 × 6371000     		du = 105.777372206936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21715930)-sin(1.21714270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346312055732791-0.346327628466686)×R²
    abs(-0.43008986--0.43013780)×1.55727338945755e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.55727338945755e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.55727338945755e-05×40589641000000     		ar = 11186.6152860003m²