Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56562 / 42774
↖ ↑ ↗
← N 52.872446°
W 24.647827°		 ← 184.35 m → N 52.872446°
W 24.645081°		 →
↑
184.38 m
↓
↑
184.38 m
↓
N 52.870788°
W 24.647827°		 ← 184.36 m →
33 991 m²		 N 52.870788°
W 24.645081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431537628173828 y=0.326343536376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431537628173828 × 217)
    floor (0.431537628173828 × 131072)
    floor (56562.5)     		tx = 56562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326343536376953 × 217)
    floor (0.326343536376953 × 131072)
    floor (42774.5)     		ty = 42774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56562 / 42774 ti = "17/56562/42774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56562/42774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56562 ÷ 217
    56562 ÷ 131072     		x = 0.431533813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42774 ÷ 217
    42774 ÷ 131072     		y = 0.326339721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431533813476562 × 2 - 1) × π
    -0.136932373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43018574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326339721679688 × 2 - 1) × π
    0.347320556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09113970915172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43018574} λ = -0.43018574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09113970915172))-π/2
    2×atan(2.9776658123746)-π/2
    2×1.24679729200463-π/2
    2.49359458400925-1.57079632675     		φ = 0.92279826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43018574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.647827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92279826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.872446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56562 KachelY 42774 -0.43018574 0.92279826 -24.647827 52.872446
    Oben rechts KachelX + 1 56563 KachelY 42774 -0.43013780 0.92279826 -24.645081 52.872446
    Unten links KachelX 56562 KachelY + 1 42775 -0.43018574 0.92276932 -24.647827 52.870788
    Unten rechts KachelX + 1 56563 KachelY + 1 42775 -0.43013780 0.92276932 -24.645081 52.870788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92279826-0.92276932) × R
    2.89399999999773e-05 × 6371000     		dl = 184.376739999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92279826-0.92276932) × R
    2.89399999999773e-05 × 6371000     		dr = 184.376739999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43018574--0.43013780) × cos(0.92279826) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.603591487496769 × 6371000     		do = 184.352376726281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43018574--0.43013780) × cos(0.92276932) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.603614560924992 × 6371000     		du = 184.35942394517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92279826)-sin(0.92276932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603591487496769-0.603614560924992)×R²
    abs(-0.43013780--0.43018574)×2.30734282233858e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30734282233858e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30734282233858e-05×40589641000000     		ar = 33990.9399059282m²