Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56561 / 15987
↖ ↑ ↗
← N 79.374286°
W 24.650573°		 ← 56.31 m → N 79.374286°
W 24.647827°		 →
↑
56.32 m
↓
↑
56.32 m
↓
N 79.373780°
W 24.650573°		 ← 56.31 m →
3 171 m²		 N 79.373780°
W 24.647827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431529998779297 y=0.121974945068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431529998779297 × 217)
    floor (0.431529998779297 × 131072)
    floor (56561.5)     		tx = 56561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121974945068359 × 217)
    floor (0.121974945068359 × 131072)
    floor (15987.5)     		ty = 15987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56561 / 15987 ti = "17/56561/15987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56561/15987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56561 ÷ 217
    56561 ÷ 131072     		x = 0.431526184082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15987 ÷ 217
    15987 ÷ 131072     		y = 0.121971130371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431526184082031 × 2 - 1) × π
    -0.136947631835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.43023367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121971130371094 × 2 - 1) × π
    0.756057739257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.37522543927416
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43023367} λ = -0.43023367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37522543927416))-π/2
    2×atan(10.7534371599047)-π/2
    2×1.47806948496123-π/2
    2.95613896992247-1.57079632675     		φ = 1.38534264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43023367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.650573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38534264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.374286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56561 KachelY 15987 -0.43023367 1.38534264 -24.650573 79.374286
    Oben rechts KachelX + 1 56562 KachelY 15987 -0.43018574 1.38534264 -24.647827 79.374286
    Unten links KachelX 56561 KachelY + 1 15988 -0.43023367 1.38533380 -24.650573 79.373780
    Unten rechts KachelX + 1 56562 KachelY + 1 15988 -0.43018574 1.38533380 -24.647827 79.373780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38534264-1.38533380) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dl = 56.3196400000634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38534264-1.38533380) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dr = 56.3196400000634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43023367--0.43018574) × cos(1.38534264) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184392459778865 × 6371000     		do = 56.306455834802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43023367--0.43018574) × cos(1.38533380) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184401148189487 × 6371000     		du = 56.309108945507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38534264)-sin(1.38533380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184392459778865-0.184401148189487)×R²
    abs(-0.43018574--0.43023367)×8.68841062215409e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.68841062215409e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.68841062215409e-06×40589641000000     		ar = 3171.23403342516m²