Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56560 / 15920
↖ ↑ ↗
← N 79.408165°
W 24.653320°		 ← 56.14 m → N 79.408165°
W 24.650573°		 →
↑
56.19 m
↓
↑
56.19 m
↓
N 79.407660°
W 24.653320°		 ← 56.14 m →
3 155 m²		 N 79.407660°
W 24.650573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431522369384766 y=0.121463775634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431522369384766 × 217)
    floor (0.431522369384766 × 131072)
    floor (56560.5)     		tx = 56560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121463775634766 × 217)
    floor (0.121463775634766 × 131072)
    floor (15920.5)     		ty = 15920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56560 / 15920 ti = "17/56560/15920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56560/15920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56560 ÷ 217
    56560 ÷ 131072     		x = 0.4315185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15920 ÷ 217
    15920 ÷ 131072     		y = 0.1214599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4315185546875 × 2 - 1) × π
    -0.136962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43028161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1214599609375 × 2 - 1) × π
    0.757080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37843721154871
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43028161} λ = -0.43028161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37843721154871))-π/2
    2×atan(10.7880302740964)-π/2
    2×1.47836513135516-π/2
    2.95673026271032-1.57079632675     		φ = 1.38593394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43028161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.653320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38593394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.408165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56560 KachelY 15920 -0.43028161 1.38593394 -24.653320 79.408165
    Oben rechts KachelX + 1 56561 KachelY 15920 -0.43023367 1.38593394 -24.650573 79.408165
    Unten links KachelX 56560 KachelY + 1 15921 -0.43028161 1.38592512 -24.653320 79.407660
    Unten rechts KachelX + 1 56561 KachelY + 1 15921 -0.43023367 1.38592512 -24.650573 79.407660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38593394-1.38592512) × R
    8.81999999990946e-06 × 6371000     		dl = 56.1922199994231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38593394-1.38592512) × R
    8.81999999990946e-06 × 6371000     		dr = 56.1922199994231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43028161--0.43023367) × cos(1.38593394) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183811266778873 × 6371000     		do = 56.1406921762378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43028161--0.43023367) × cos(1.38592512) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183819936492636 × 6371000     		du = 56.1433401299796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38593394)-sin(1.38592512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183811266778873-0.183819936492636)×R²
    abs(-0.43023367--0.43028161)×8.66971376350945e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.66971376350945e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.66971376350945e-06×40589641000000     		ar = 3154.74452301439m²