Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5656 / 2610
↖ ↑ ↗
← N 54.521081°
E 68.554687°		 ← 2 836.14 m → N 54.521081°
E 68.598633°		 →
↑
2 837.01 m
↓
↑
2 837.01 m
↓
N 54.495567°
E 68.554687°		 ← 2 837.91 m →
8 048 652 m²		 N 54.495567°
E 68.598633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.69049072265625 y=0.31866455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.69049072265625 × 213)
    floor (0.69049072265625 × 8192)
    floor (5656.5)     		tx = 5656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31866455078125 × 213)
    floor (0.31866455078125 × 8192)
    floor (2610.5)     		ty = 2610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5656 / 2610 ti = "13/5656/2610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5656/2610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5656 ÷ 213
    5656 ÷ 8192     		x = 0.6904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2610 ÷ 213
    2610 ÷ 8192     		y = 0.318603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6904296875 × 2 - 1) × π
    0.380859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19650501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318603515625 × 2 - 1) × π
    0.36279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13974772536646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19650501} λ = 1.19650501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13974772536646))-π/2
    2×atan(3.12597966033195)-π/2
    2×1.26118435530982-π/2
    2.52236871061963-1.57079632675     		φ = 0.95157238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19650501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.554687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95157238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.521081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5656 KachelY 2610 1.19650501 0.95157238 68.554687 54.521081
    Oben rechts KachelX + 1 5657 KachelY 2610 1.19727200 0.95157238 68.598633 54.521081
    Unten links KachelX 5656 KachelY + 1 2611 1.19650501 0.95112708 68.554687 54.495567
    Unten rechts KachelX + 1 5657 KachelY + 1 2611 1.19727200 0.95112708 68.598633 54.495567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95157238-0.95112708) × R
    0.000445299999999982 × 6371000     		dl = 2837.00629999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95157238-0.95112708) × R
    0.000445299999999982 × 6371000     		dr = 2837.00629999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19650501-1.19727200) × cos(0.95157238) × R
    0.000766989999999801 × 0.580403372649151 × 6371000     		do = 2836.13718594271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19650501-1.19727200) × cos(0.95112708) × R
    0.000766989999999801 × 0.580765935852158 × 6371000     		du = 2837.9088486014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95157238)-sin(0.95112708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.580403372649151-0.580765935852158)×R²
    abs(1.19727200-1.19650501)×0.000362563203006872×R²
    0.000766989999999801×0.000362563203006872×6371000²
    0.000766989999999801×0.000362563203006872×40589641000000     		ar = 8048652.30624412m²