Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56559 / 15986
↖ ↑ ↗
← N 79.374793°
W 24.656067°		 ← 56.32 m → N 79.374793°
W 24.653320°		 →
↑
56.32 m
↓
↑
56.32 m
↓
N 79.374286°
W 24.656067°		 ← 56.32 m →
3 172 m²		 N 79.374286°
W 24.653320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431514739990234 y=0.121967315673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431514739990234 × 217)
    floor (0.431514739990234 × 131072)
    floor (56559.5)     		tx = 56559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121967315673828 × 217)
    floor (0.121967315673828 × 131072)
    floor (15986.5)     		ty = 15986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56559 / 15986 ti = "17/56559/15986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56559/15986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56559 ÷ 217
    56559 ÷ 131072     		x = 0.431510925292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15986 ÷ 217
    15986 ÷ 131072     		y = 0.121963500976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431510925292969 × 2 - 1) × π
    -0.136978149414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.43032955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121963500976562 × 2 - 1) × π
    0.756072998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.37527337617378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43032955} λ = -0.43032955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37527337617378))-π/2
    2×atan(10.753952658698)-π/2
    2×1.47807390445846-π/2
    2.95614780891693-1.57079632675     		φ = 1.38535148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43032955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.656067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38535148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.374793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56559 KachelY 15986 -0.43032955 1.38535148 -24.656067 79.374793
    Oben rechts KachelX + 1 56560 KachelY 15986 -0.43028161 1.38535148 -24.653320 79.374793
    Unten links KachelX 56559 KachelY + 1 15987 -0.43032955 1.38534264 -24.656067 79.374286
    Unten rechts KachelX + 1 56560 KachelY + 1 15987 -0.43028161 1.38534264 -24.653320 79.374286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38535148-1.38534264) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dl = 56.3196400000634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38535148-1.38534264) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dr = 56.3196400000634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43032955--0.43028161) × cos(1.38535148) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.184383771353833 × 6371000     		do = 56.3155498097636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43032955--0.43028161) × cos(1.38534264) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.184392459778865 × 6371000     		du = 56.3182034784083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38535148)-sin(1.38534264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184383771353833-0.184392459778865)×R²
    abs(-0.43028161--0.43032955)×8.68842503159994e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.68842503159994e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.68842503159994e-06×40589641000000     		ar = 3171.74621841717m²