Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56558 / 87354
↖ ↑ ↗
← S 51.279099°
W 24.658813°		 ← 191.01 m → S 51.279099°
W 24.656067°		 →
↑
191 m
↓
↑
191 m
↓
S 51.280816°
W 24.658813°		 ← 191.01 m →
36 483 m²		 S 51.280816°
W 24.656067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431507110595703 y=0.666461944580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431507110595703 × 217)
    floor (0.431507110595703 × 131072)
    floor (56558.5)     		tx = 56558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666461944580078 × 217)
    floor (0.666461944580078 × 131072)
    floor (87354.5)     		ty = 87354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56558 / 87354 ti = "17/56558/87354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56558/87354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56558 ÷ 217
    56558 ÷ 131072     		x = 0.431503295898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87354 ÷ 217
    87354 ÷ 131072     		y = 0.666458129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431503295898438 × 2 - 1) × π
    -0.136993408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43037748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666458129882812 × 2 - 1) × π
    -0.332916259765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.04588727591039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43037748} λ = -0.43037748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04588727591039))-π/2
    2×atan(0.351379910094113)-π/2
    2×0.337903608636662-π/2
    0.675807217273325-1.57079632675     		φ = -0.89498911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43037748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.658813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89498911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.279099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56558 KachelY 87354 -0.43037748 -0.89498911 -24.658813 -51.279099
    Oben rechts KachelX + 1 56559 KachelY 87354 -0.43032955 -0.89498911 -24.656067 -51.279099
    Unten links KachelX 56558 KachelY + 1 87355 -0.43037748 -0.89501909 -24.658813 -51.280816
    Unten rechts KachelX + 1 56559 KachelY + 1 87355 -0.43032955 -0.89501909 -24.656067 -51.280816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89498911--0.89501909) × R
    2.9979999999985e-05 × 6371000     		dl = 191.002579999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89498911--0.89501909) × R
    2.9979999999985e-05 × 6371000     		dr = 191.002579999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43037748--0.43032955) × cos(-0.89498911) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.625527312830899 × 6371000     		do = 191.012290066384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43037748--0.43032955) × cos(-0.89501909) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.625503922085759 × 6371000     		du = 191.005147420965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89498911)-sin(-0.89501909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625527312830899-0.625503922085759)×R²
    abs(-0.43032955--0.43037748)×2.33907451400173e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.33907451400173e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.33907451400173e-05×40589641000000     		ar = 36483.1580851459m²