Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56556 / 87350
↖ ↑ ↗
← S 51.272226°
W 24.664307°		 ← 191.08 m → S 51.272226°
W 24.661560°		 →
↑
191.07 m
↓
↑
191.07 m
↓
S 51.273944°
W 24.664307°		 ← 191.07 m →
36 508 m²		 S 51.273944°
W 24.661560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431491851806641 y=0.666431427001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431491851806641 × 217)
    floor (0.431491851806641 × 131072)
    floor (56556.5)     		tx = 56556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666431427001953 × 217)
    floor (0.666431427001953 × 131072)
    floor (87350.5)     		ty = 87350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56556 / 87350 ti = "17/56556/87350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56556/87350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56556 ÷ 217
    56556 ÷ 131072     		x = 0.431488037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87350 ÷ 217
    87350 ÷ 131072     		y = 0.666427612304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431488037109375 × 2 - 1) × π
    -0.13702392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43047336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666427612304688 × 2 - 1) × π
    -0.332855224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.0456955283119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43047336} λ = -0.43047336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0456955283119))-π/2
    2×atan(0.351447292808058)-π/2
    2×0.337963584802726-π/2
    0.675927169605453-1.57079632675     		φ = -0.89486916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43047336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.664307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89486916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.272226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56556 KachelY 87350 -0.43047336 -0.89486916 -24.664307 -51.272226
    Oben rechts KachelX + 1 56557 KachelY 87350 -0.43042542 -0.89486916 -24.661560 -51.272226
    Unten links KachelX 56556 KachelY + 1 87351 -0.43047336 -0.89489915 -24.664307 -51.273944
    Unten rechts KachelX + 1 56557 KachelY + 1 87351 -0.43042542 -0.89489915 -24.661560 -51.273944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89486916--0.89489915) × R
    2.99899999999242e-05 × 6371000     		dl = 191.066289999517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89486916--0.89489915) × R
    2.99899999999242e-05 × 6371000     		dr = 191.066289999517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43047336--0.43042542) × cos(-0.89486916) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.625620893592824 × 6371000     		do = 191.080724385145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43047336--0.43042542) × cos(-0.89489915) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.625597497295809 × 6371000     		du = 191.073578553817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89486916)-sin(-0.89489915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625620893592824-0.625597497295809)×R²
    abs(-0.43042542--0.43047336)×2.33962970141999e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33962970141999e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33962970141999e-05×40589641000000     		ar = 36508.4024378146m²