Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56556 / 15980
↖ ↑ ↗
← N 79.377831°
W 24.664307°		 ← 56.30 m → N 79.377831°
W 24.661560°		 →
↑
56.32 m
↓
↑
56.32 m
↓
N 79.377325°
W 24.664307°		 ← 56.30 m →
3 171 m²		 N 79.377325°
W 24.661560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431491851806641 y=0.121921539306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431491851806641 × 217)
    floor (0.431491851806641 × 131072)
    floor (56556.5)     		tx = 56556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121921539306641 × 217)
    floor (0.121921539306641 × 131072)
    floor (15980.5)     		ty = 15980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56556 / 15980 ti = "17/56556/15980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56556/15980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56556 ÷ 217
    56556 ÷ 131072     		x = 0.431488037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15980 ÷ 217
    15980 ÷ 131072     		y = 0.121917724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431488037109375 × 2 - 1) × π
    -0.13702392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43047336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121917724609375 × 2 - 1) × π
    0.75616455078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3755609975715
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43047336} λ = -0.43047336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3755609975715))-π/2
    2×atan(10.7570461704515)-π/2
    2×1.47810041706957-π/2
    2.95620083413914-1.57079632675     		φ = 1.38540451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43047336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.664307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38540451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.377831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56556 KachelY 15980 -0.43047336 1.38540451 -24.664307 79.377831
    Oben rechts KachelX + 1 56557 KachelY 15980 -0.43042542 1.38540451 -24.661560 79.377831
    Unten links KachelX 56556 KachelY + 1 15981 -0.43047336 1.38539567 -24.664307 79.377325
    Unten rechts KachelX + 1 56557 KachelY + 1 15981 -0.43042542 1.38539567 -24.661560 79.377325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38540451-1.38539567) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dl = 56.3196400000634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38540451-1.38539567) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dr = 56.3196400000634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43047336--0.43042542) × cos(1.38540451) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.184331650329724 × 6371000     		do = 56.2996307074054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43047336--0.43042542) × cos(1.38539567) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.184340338841182 × 6371000     		du = 56.3022844024469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38540451)-sin(1.38539567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184331650329724-0.184340338841182)×R²
    abs(-0.43042542--0.43047336)×8.68851145779947e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.68851145779947e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.68851145779947e-06×40589641000000     		ar = 3170.84966110985m²