Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56554 / 15918
↖ ↑ ↗
← N 79.409175°
W 24.669800°		 ← 56.12 m → N 79.409175°
W 24.667053°		 →
↑
56.13 m
↓
↑
56.13 m
↓
N 79.408670°
W 24.669800°		 ← 56.13 m →
3 150 m²		 N 79.408670°
W 24.667053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431476593017578 y=0.121448516845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431476593017578 × 217)
    floor (0.431476593017578 × 131072)
    floor (56554.5)     		tx = 56554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121448516845703 × 217)
    floor (0.121448516845703 × 131072)
    floor (15918.5)     		ty = 15918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56554 / 15918 ti = "17/56554/15918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56554/15918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56554 ÷ 217
    56554 ÷ 131072     		x = 0.431472778320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15918 ÷ 217
    15918 ÷ 131072     		y = 0.121444702148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431472778320312 × 2 - 1) × π
    -0.137054443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43056923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121444702148438 × 2 - 1) × π
    0.757110595703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37853308534795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43056923} λ = -0.43056923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37853308534795))-π/2
    2×atan(10.7890646131273)-π/2
    2×1.47837394228242-π/2
    2.95674788456483-1.57079632675     		φ = 1.38595156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43056923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.669800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38595156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.409175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56554 KachelY 15918 -0.43056923 1.38595156 -24.669800 79.409175
    Oben rechts KachelX + 1 56555 KachelY 15918 -0.43052130 1.38595156 -24.667053 79.409175
    Unten links KachelX 56554 KachelY + 1 15919 -0.43056923 1.38594275 -24.669800 79.408670
    Unten rechts KachelX + 1 56555 KachelY + 1 15919 -0.43052130 1.38594275 -24.667053 79.408670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38595156-1.38594275) × R
    8.81000000019228e-06 × 6371000     		dl = 56.128510001225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38595156-1.38594275) × R
    8.81000000019228e-06 × 6371000     		dr = 56.128510001225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43056923--0.43052130) × cos(1.38595156) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.183793946967745 × 6371000     		do = 56.1236927478172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43056923--0.43052130) × cos(1.38594275) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.183802606880442 × 6371000     		du = 56.126337156338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38595156)-sin(1.38594275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183793946967745-0.183802606880442)×R²
    abs(-0.43052130--0.43056923)×8.65991269721755e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.65991269721755e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.65991269721755e-06×40589641000000     		ar = 3150.21346302175m²