Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56553 / 16250
↖ ↑ ↗
← N 79.240262°
W 24.672546°		 ← 57.02 m → N 79.240262°
W 24.669800°		 →
↑
57.02 m
↓
↑
57.02 m
↓
N 79.239749°
W 24.672546°		 ← 57.02 m →
3 251 m²		 N 79.239749°
W 24.669800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431468963623047 y=0.123981475830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431468963623047 × 217)
    floor (0.431468963623047 × 131072)
    floor (56553.5)     		tx = 56553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123981475830078 × 217)
    floor (0.123981475830078 × 131072)
    floor (16250.5)     		ty = 16250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56553 / 16250 ti = "17/56553/16250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56553/16250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56553 ÷ 217
    56553 ÷ 131072     		x = 0.431465148925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16250 ÷ 217
    16250 ÷ 131072     		y = 0.123977661132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431465148925781 × 2 - 1) × π
    -0.137069702148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.43061717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123977661132812 × 2 - 1) × π
    0.752044677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36261803467409
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43061717} λ = -0.43061717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36261803467409))-π/2
    2×atan(10.6187152580127)-π/2
    2×1.47689989953346-π/2
    2.95379979906692-1.57079632675     		φ = 1.38300347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43061717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.672546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38300347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.240262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56553 KachelY 16250 -0.43061717 1.38300347 -24.672546 79.240262
    Oben rechts KachelX + 1 56554 KachelY 16250 -0.43056923 1.38300347 -24.669800 79.240262
    Unten links KachelX 56553 KachelY + 1 16251 -0.43061717 1.38299452 -24.672546 79.239749
    Unten rechts KachelX + 1 56554 KachelY + 1 16251 -0.43056923 1.38299452 -24.669800 79.239749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38300347-1.38299452) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dl = 57.0204500000482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38300347-1.38299452) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dr = 57.0204500000482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43061717--0.43056923) × cos(1.38300347) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186691012750255 × 6371000     		do = 57.0202407205585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43061717--0.43056923) × cos(1.38299452) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186699805389977 × 6371000     		du = 57.0229262190522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38300347)-sin(1.38299452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186691012750255-0.186699805389977)×R²
    abs(-0.43056923--0.43061717)×8.79263972208832e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.79263972208832e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.79263972208832e-06×40589641000000     		ar = 3251.39634905561m²