Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56552 / 15978
↖ ↑ ↗
← N 79.378844°
W 24.675293°		 ← 56.29 m → N 79.378844°
W 24.672546°		 →
↑
56.32 m
↓
↑
56.32 m
↓
N 79.378337°
W 24.675293°		 ← 56.30 m →
3 171 m²		 N 79.378337°
W 24.672546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431461334228516 y=0.121906280517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431461334228516 × 217)
    floor (0.431461334228516 × 131072)
    floor (56552.5)     		tx = 56552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121906280517578 × 217)
    floor (0.121906280517578 × 131072)
    floor (15978.5)     		ty = 15978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56552 / 15978 ti = "17/56552/15978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56552/15978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56552 ÷ 217
    56552 ÷ 131072     		x = 0.43145751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15978 ÷ 217
    15978 ÷ 131072     		y = 0.121902465820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43145751953125 × 2 - 1) × π
    -0.1370849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43066511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121902465820312 × 2 - 1) × π
    0.756195068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37565687137074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43066511} λ = -0.43066511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37565687137074))-π/2
    2×atan(10.7580775387763)-π/2
    2×1.4781092529412-π/2
    2.9562185058824-1.57079632675     		φ = 1.38542218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43066511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.675293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38542218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.378844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56552 KachelY 15978 -0.43066511 1.38542218 -24.675293 79.378844
    Oben rechts KachelX + 1 56553 KachelY 15978 -0.43061717 1.38542218 -24.672546 79.378844
    Unten links KachelX 56552 KachelY + 1 15979 -0.43066511 1.38541334 -24.675293 79.378337
    Unten rechts KachelX + 1 56553 KachelY + 1 15979 -0.43061717 1.38541334 -24.672546 79.378337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38542218-1.38541334) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dl = 56.3196400000634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38542218-1.38541334) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dr = 56.3196400000634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43066511--0.43061717) × cos(1.38542218) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.184314283092269 × 6371000     		do = 56.2943263060539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43066511--0.43061717) × cos(1.38541334) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.184322971632519 × 6371000     		du = 56.2969800098894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38542218)-sin(1.38541334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184314283092269-0.184322971632519)×R²
    abs(-0.43061717--0.43066511)×8.68854025026788e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.68854025026788e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.68854025026788e-06×40589641000000     		ar = 3170.55091949986m²